Question

如图所示，左图是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的原理图．在原理图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

1

24

．问：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（

a

2

）=

sina

1+cosa

．结果可保留根号．）

（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

分析：（1）小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度．由几何知识求出P、Q间的距离S_PQ，运用动能定理研究小球从P到A的过程，求解P点的初速度．
（2）首先根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v₀比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O₁．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道．

解答：解：（1）小车恰好过A点，由牛顿第二定律有
     mg=m

v 2 A

R1

小球P到A的过程中，由动能定理有
-μmgcosα?S_PQ=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 0

由几何关系可得  S_PQ=

R1(1+cosα)

sinα

代入数据可得 v₀=2

6

m/s              
（2）小车以v=10m/s的初速度从P点下滑时，因为有v=10m/s＞v₀=2

6

m/s
所以小车可以通过圆弧轨道O₁，设小车恰好能通过B点，
由牛顿第二定律有 mg=m

v 2 B

R2

                            
则P到B由动能定理得 
-μmgcosα?S_PZ=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 P

          
其中  S_PZ=

R2(1+cosα)

sinα

                                    
代入数据可得   v_P=

96

m/s                                 
因为v_P=

96

m/s＜10m/s，所以小车能安全通过两个圆形轨道．
答：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为2

6

m/s；
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，小车能安全通过两个圆形轨道．

点评：对于物体在竖直平面内光滑圆轨道最高点的临界速度v=

gr

，要在理解的基础上加强记忆，圆周运动往往与动能定理、机械能守恒等进行综合．本题难点在于运用几何知识求距离．中等难度．