Question

13．如图所示，AB为倾角θ=37°的光滑斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接，质量为m₂的小球乙静止在水平轨道上，此时小球乙与斜面底端B的距离d=2m．质量为m₁的小球甲以某一未知速度v₀与乙球发生弹性正碰，使乙球获得6m/s的速度．若m₁：m₂=1：2，且轨道足够长，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面运动的时间；
（2）两球发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离．

Answer 1

分析 （1）小球乙在斜面做匀变速运动，由牛顿第二定律求出加速度，再由速度公式求得上升时间，结合对称性求得小球乙在斜面运动的时间；
（2）对于两球的第一次碰撞过程，由于发生的是弹性碰撞，所以遵守动量守恒和动能守恒，由此列式，求出碰后甲球的速度．再根据位移关系求解．

解答 解：（1）小球乙在斜面运动，由牛顿第二定律得：
   m₂gsin37°=m₂a  ①
设在斜面上升时间为t₂，则 0=v₂-at₁．②
小球乙在斜面运动的时间 t′=2t₁  ③
联立①②③解得  t′=2s
（2）两球发生弹性正碰，取向左为正方向，根据动量守恒定律和动能守恒得：
   m₁v₀=mv₁+m₂v₂ ④
   $\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂² ⑤
联立④⑤解得：v₁=-3m/s，负号表示方向向右
设发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离为L，则在两次碰撞之间的时间内，甲在水平轨道运动的路程为（L-d），乙在水平轨道运动的路程为（L+d），于是
   $\frac{L-d}{|{v}_{1}|}$=t′+$\frac{L+d}{{v}_{2}}$  ⑥
解得 L=18m 
答：
（1）第二次碰撞前小球乙在斜面运动的时间是2s；
（2）两球发生第二次碰撞时的位置到斜面底端B的距离是18m．

点评 本题要明确两球的运动情况，把握乙球的运动规律和弹性碰撞的规律：动量守恒和动能守恒，分析两球发生第二次碰撞的条件是解决本题的关键．