Question

10．如图甲所示，离子源不断地产生的正离子（正离子的重力可忽略不计），正离子从离子源飞出时的速度可忽略不计，离子离开离子源后进入一加速电压为U₀的加速电场，再沿平行金属板的方向从两板正中间射入偏转电场，偏转电场极板间的距离为d，极板长为l=2d，偏转电场的下极板接地，偏转电场极板右端到竖直放置的足够大的荧光屏之间的距离也为l．现在偏转电场的两极板间接一周期为T的交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如图乙所示．（设正离子的电荷量为q、质量为m，离子穿过平行板的时间极短，可认为离子在板间运动的时间内保持刚进入时的电压）

（1）试计算离子刚进入偏转电场时的速度v₀的大小；
（2）在电势变化的过程中发现荧光屏有“黑屏”现象，即无正离子到达荧光屏，试计算每个周期内荧光屏黑屏的时间t；
（3）离子打到荧光屏上的区间的长度x．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理计算离子刚进入偏转电场时的速度v₀的大小；
（2）求出粒子刚好从极板边缘射出对应的电压U，电压大于U，粒子打在偏转电场极板上时，出现“黑屏”，从而求出每个周期内出现“黑屏”的时间
（3）画出粒子运动轨迹图，根据几何关系求出离子打到荧光屏上的区间的长度

解答 解：（1）由题意可知，离子刚进入偏转电场时的速度大小恰为离子出加速电场时的速度大小，由动能定理可得$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，解得离子刚进入偏转电场时的速度大小为${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$
（2）由题意可知，只要正离子能射出偏转电场，即可打到荧光屏上，因此当离子打在偏转电场的极板上时，出现“黑屏”现象．设离子刚好能射出偏转电场时的偏转电压为U，则有
$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•（\frac{l}{{v}_{0}^{\;}}）_{\;}^{2}$，
又因为l=2d，所以可得$U=\frac{{U}_{0}^{\;}}{2}$．由图乙可知，在偏转电压$U=0.5{U}_{0}^{\;}$～${U}_{0}^{\;}$之间变化时，进入偏转电场的离子无法射出偏转电场打在荧光屏上，因此每个周期内出现“黑屏”的时间为$t=\frac{T}{2}$
（3）设离子射出偏转电场时的偏移量为y，打在荧光屏上的位置到O点的距离为Y，如图所示，

由几何关系可得$\frac{y}{Y}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{3l}{2}}=\frac{1}{3}$，所以离子打到荧光屏上的区间的长度$x=2Y=6y=6×\frac{d}{2}=3d$
答：（1）试计算离子刚进入偏转电场时的速度v₀的大小$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$；
（2）在电势变化的过程中发现荧光屏有“黑屏”现象，即无正离子到达荧光屏，试计算每个周期内荧光屏黑屏的时间t为$\frac{T}{2}$；
（3）离子打到荧光屏上的区间的长度x为3d

点评 解决本题的关键是要把握住以下几点：（1）粒子在穿过偏转电场的过程中两偏转极板的电势差始终保持不变，这样就可以将变化电压问题简化为电压恒定的问题进行处理（2）所谓“黑屏”即为带电粒子不能射出偏转电场，因此只要算出粒子恰好不能射出偏转电场的电压，即可根据电压与时间的关系找出“黑屏”的时间；（3）粒子在荧光屏上达到的最远距离时对应带电粒子刚好从偏转电场极板边缘射出时的偏转情况．