Question

13．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它离地面的高度为2R，R为地球半径．已知地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）卫星的向心加速度大小；
（3）地球的第一宇宙速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和地球的半径求出地球的质量．
（2）根据万有引力提供向心力，求出卫星的向心加速度．
（3）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）地球表面处万有引力等于重力$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
解得地球的质量$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$．
（2）万有引力提供卫星的向心力$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=ma$，
依题意  h=2R
解得$a=\frac{GM}{{9{R^2}}}=\frac{g}{9}$．
（3）第一宇宙速度即为近地卫星绕行速度$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$，
解得${v_1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}$．
答：（1）地球的质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）卫星的向心加速度大小为$\frac{g}{9}$；
（3）地球的第一宇宙速度大小为$\sqrt{gR}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．