Question

14．甲、乙同学在平直跑道上玩追逐游戏．开始时甲静止在乙的前方，某时刻，乙以6m/s的速度从甲的身边跑过，从乙在甲身边经过时算起，经过0.5s的反应时间甲开始追赶乙．若乙作匀速运动，甲先以4m/s²的加速度作匀加速运动，达到最大速度8m/s后作匀速运动．求：
（1）甲追上乙前两人的最大距离是多少？
（2）甲一共要追逐多长时间才能追上乙？
（3）若甲的最大速度不变，要求甲在起跑后4.5s内追上乙，则甲应先以多大的加速度加速？

Answer 1

分析 （1）当两人的速度相等时距离最大，由速度公式求时间，再由位移公式求解最大距离．
（2）甲追上乙时两者的位移相等，由位移关系和位移公式结合解答．
（3）与上题相似，由位移关系和位移公式结合求解．

解答 解（1）当两人的速度相等时距离最大，设甲经过时间t时两者距离最大，由 v_乙=at得：
  t=$\frac{{v}_{乙}^{\;}}{a}$=$\frac{6}{4}$=1.5s
最大距离是 S=v_乙（t+0.5）-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=6×2-$\frac{1}{2}$×4×1.5²=7.5m
（2）当甲的速度到达最大时通过的位移 x_甲=$\frac{{v}_{甲}^{2}}{2a}$=$\frac{{8}^{2}}{2×4}$m=8m
所用时间 t₁=$\frac{{v}_{甲}}{a}$=$\frac{8}{4}$s=2s
此过程中乙的位移 x_乙=v_乙（t₁+0.5）=6×2.5m=15m
可知甲的速度刚达最大时还没有追上乙，设再经过时间t₂，甲追上乙
则有 x_乙-x_甲=v_甲t₂-v_乙t₂，得 t₂=3.5s
共用时 t_总=t₁+t₂=5.5s
（3）设甲应先以加速度a′加速，才能满足要求．
则 v_乙（t₃+0.5）=$\frac{{v}_{甲}^{2}}{2a′}$+v_甲（t₃-$\frac{{v}_{甲}}{a′}$）
解得 a′=$\frac{16}{3}$m/s²．
答：
（1）甲追上乙前两人的最大距离是7.5m．
（2）甲一共要追逐5.5s时间才能追上乙．
（3）若甲的最大速度不变，要求甲在起跑后4.5s内追上乙，则甲应先以大小为$\frac{16}{3}$m/s²的加速度加速．

点评 解决本题的关键理清运动过程，分析两个运动员之间的关系，如位移关系、时间关系，再运用运动学公式灵活求解．