Question

1．如图所示，固定在竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道ABA和光滑半圆轨道CD，他们的最低点B、C，分别与粗糙水平面相切，现将一小滑块（可视为质点）在A点由静止释放，小滑块沿轨道AB滑至最低点B后，在水平地面BC上向右做匀减速直线运动，到达C点后进入半圆轨道CD，小滑块沿半圆轨道内壁滑至最高点D时，恰好对轨道D点无压力作用，已知R=0.5m，r=0.1m，小滑块质量m=0.1Kg，滑块与地面间的动摩擦因数?=0.5，g取10m/s²试求：
（1）小滑块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（2）小滑块在C点时的速度大小；
（3）水平地面BC间的距离S为多少．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可求出小球滑到最低点B时的速度，弹簧由牛顿第二定律求出小滑块受到的支持力，由牛顿第三定律说明小滑块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小．
（2）小滑块沿半圆轨道内壁滑至最高点D时，恰好对轨道D点无压力作用，由牛顿第二定律求出滑块在D点的速度，然后由动能定理可以求出小滑块在C点时的速度大小．
（3）B到C的过程中摩擦力做功，由动能定理即可求出S．

解答 解：（1）小球从A滑到B的过程中，由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：v_B=$\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.5}m/s=\sqrt{10}$m/s；
滑块受到的支持力与重力的合力提供向心力，得：
${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得${F}_{N}=mg+\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}=0.1×10+\frac{0.1×10}{0.5}=3$N
由牛顿第三定律可知，滑块受到的支持力和滑块对轨道的压力大小相等，方向相反，所以小滑块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力是3N；
（2）小滑块沿半圆轨道内壁滑至最高点D时，恰好对轨道D点无压力作用，则重力恰好通过向心力，得：
$mg=\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$
从C到D的过程，由动能定理可得：
-mg2r=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
所以：${v}_{c}=\sqrt{5}$m/s
（3）B到C的过程中摩擦力做功，由动能定理得：
$-μmgS=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：S=0.5m
答：（1）小滑块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小是3N；
（2）小滑块在C点时的速度大小是$\sqrt{5}$m/s；
（3）水平地面BC间的距离S为0.5m．

点评 本题考查了动能定理的应用，正确应用动能定理即可解题，第（1）问也可以应用机械能守恒定律解题．