Question

如图，在半径为r的轴上悬挂一个质量为M的水桶p，轴上分布着6根手柄，柄端有6个质量为m的金属小球．球离轴心的距离为l，轮轴、绳及手柄的质量以及摩擦均不计．开始时水桶p在离地面某高度处，释放后水桶p带动整个装置转动，当转动n周后，水桶恰好到达地面并停在地面不跳起，而绳继续释放．当绳释放完后，由于惯性，继续转动着的轮轴再次把绳绕在筒上，从而又把重物从地面提升起来．
求：（1）转动n周后水桶p的速率v；
    （2）重物提升起的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）整个系统释放的重力势能转化为系统的动能，根据能量守恒列式即可求解水桶p的速率v．列方程时，还要抓住水桶与小球速度的关系．
（2）水桶p着地后，由于惯性，轮轴继续转动，先把绳子放松，以后再次把绳绕在筒上，从而又把重物从地面提升起来．在这过程中，6个小球的动能全部转化为水桶p的重力势能．再根据能量守恒列式求解．

解答：解：（1）设水桶p着地时的速度为v，小球转动的线速度为vˊ，
 

v′

v

=

L

r

   ①
根据机械能守恒定律，有：
  Mgn2πr=

1

2

Mv2+6×

1

2

mv2   ②
由①②得，
  v=

4nπMgr M+6m L2 r2

   ③
（2）水桶p着地后，由于惯性，轮轴继续转动，先把绳子放松，以后再次把绳绕在筒上，从而又把重物从地面提升起来．在这过程中，6个小球的动能全部转化为水桶p的重力势能．
  6×

1

2

mv2=Mgh  ④
由①①④得，
  h=

12πnmL2

r(M+6m L2 r2 )

答：
（1）转动n周后水桶p的速率v为

4nπMgr M+6m L2 r2

；
（2）重物提升起的最大高度h为

12πnmL2

r(M+6m L2 r2 )

．

点评：本题主要考查了能量守恒定律的直接应用，能够根据圆周运动的相关知识得出小桶与小球速度的关系，能正确判断能量如何转化．