Question

17．如图所示，水平轨道左端固定一轻质弹簧，右端与半径为R的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，轻质弹簧无形变时右端位于O点，物块（与弹簧不相连）在外力作用下压缩弹簧至不同长度时释放，可使物块脱离弹簧时获得不同的动能E_k，已知物块质量为m，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，OB=l₁，重力加速度为g，不计空气阻力，物块可看成质点．
（1）若弹簧的劲度系数为k，当弹簧被压缩至A点且OA=l₂时，求弹簧的弹力为多大？
（2）物块在从A点被释放运动到O点的过程中，加速度大小和速度大小如何变化？
（3）要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离，则物块在O点的动能E_k应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律求弹簧弹力；
（2）根据物块受力判断加速度变化，根据加速度和速度方向判断速度变化；
（3）要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离要分两种情况，即在圆轨道BCD上运动到最高点和在圆形轨道上滑的高度不超过C点所在高度．

解答 解：（1）根据胡克定律知弹簧弹力F=kx=kl₂；
（2）物块在从A点被释放运动到O点的过程中，物块运动过程中受到向右的弹簧弹力和向左的滑动摩擦力，弹簧弹力越来越小，所以加速度越来越小，又加速度和速度同向，所以速度越来越大，即做加速度逐渐减小的加速运动．
（3）物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离，则有两种情况：
①能通过最高点，则临界状态是最高点对轨道压力为0．
设最高点D的速度为v，临界状态时对最高点受力分析：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：$v=\sqrt{gR}$
对物块从O到D用动能定理：
$-μmg{l}_{1}-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-{E}_{k}$
解得：${E}_{k}=μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$
所以要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离，则${E}_{k}≥μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$
②在圆形轨道上滑的高度不超过C点所在高度，临界状态为刚好到达C点速度为0，则有：
对物块从O到C用动能定理：
-μmgl₁-mgR=-E_k
解得：E_k=μmgl₁+mgR
又因为物块要能到达圆轨道BCD上运动，所以Ek＞μmgl₁
所以要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离，则μmgl₁＜E_k≤μmgl₁+mgR．
答：（1）弹簧的弹力为kl₂；
（2）物块在从A点被释放运动到O点的过程中，以加速度越来越小，所以速度越来越大，即做加速度逐渐减小的加速运动．
（3）要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离，${E}_{k}≥μmg{l}_{1}+\frac{5}{2}mgR$或者μmgl₁＜E_k≤μmgl₁+mgR．

点评 要使物块在圆轨道BCD上运动时不与轨道脱离要分两种情况，即在圆轨道BCD上运动到最高点和在圆形轨道上滑的高度不超过C点所在高度．①能通过最高点，则临界状态是最高点对轨道压力为0．在圆形轨道上滑的高度不超过C点所在高度，临界状态为刚好到达C点速度为0