Question

11．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN和PK，倾角为a，间距为L，在垂直于导轨平面的方向上加有如图乙所示的周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，MP间接有阻值为R的电阻，质量为m的金属杆ab垂直导轨放置，其他电阻不计，在t=0时刻释放金属杆，金属杆由静止开始运动0，在到达t=（2n-1）$\frac{T}{2}$（n=1，2，3…）时刻之前，金属杆都已匀速运动，若在0～$\frac{T}{2}$时间内，回路中产生的焦耳热为Q₁，在t=$\frac{3}{2}$T时刻，金属棒运动的位移为x，求：

（1）在0～$\frac{T}{2}$时间内，金属棒的最大速度；
（2）在0～$\frac{T}{2}$时间内，金属棒运动的位移；
（3）金属棒运动5T时间时，回路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）达到最大速度时金属棒受力平衡，根据重力的分力等于安培力即可求得最大速度；
（2）对0～$\frac{T}{2}$时间内由功能关系可求得金属棒产生的位移；
（3）分析棒运动的整过程，根据磁场的变化明确周期性，则可根据功能关系求得5T的产生焦耳热．

解答 解：（1）达最大速度时有：
mgsinα=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{R}$
解得最大速度为：v=$\frac{mgRsinα}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）对下滑过程由动能定理可知：
mgssinα=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：mgsssin=Q+$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
则有：s=$\frac{Q}{mgsinα}+\frac{{m}^{2}g{R}^{2}sinα}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
（2）粒子在$\frac{T}{2}$～T时间内，做匀加速直线运动，由题意可知，t=（2n-1）$\frac{T}{2}$（n=1，2，3…）时刻之前导体棒均已匀速运动，说明导体在T～$\frac{3}{2}$T内做减速运动速度；并且最大速度相同；
则对于0～$\frac{3}{2}T$过程由功能关系可知：
mgxsinα-Q₁-Q₂=$\frac{1}{2}$mv²；
即在T-$\frac{3}{2}$T时产生的热量为：Q₂=mgxsinα-Q₁-$\frac{1}{2}$mv²；
此后重复$\frac{T}{2}$～$\frac{3T}{2}$的过程，5T内经历了4个这样的过程，故产生的总热量为：
Q=Q₁+4Q₂=Q₁+4（mgxsinα-Q₁-$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$）=4mgxsinα-3Q₁+4$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）最大速度为$\frac{mgRsinα}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）下滑的位移为：$\frac{Q}{mgsinα}+\frac{{m}^{2}g{R}^{2}sinα}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$（3）金属棒运动5T时间时，回路中产生的焦耳热为4mgxsinα-3Q₁+4$\frac{{{{m}^{3}g}^{2}R}^{2}si{n}^{2}α}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$

点评 本题考查导体切割磁感线中的能量及受力问题，要注意掌握分析能量转化及守恒的方法，明确哪些能量在增加，哪些能量在减小，才能正确列式求解．