Question

8．如图所示，固定的四分之一光滑圆弧轨道AB和水平传送带BC在同一竖直平面内，圆轨道半径为R，下端点B与紧靠的水平传送带上表面处于同一高度．传送带左右端B、C 间距为L，沿逆时针方向的传动速度为v₁，一质量为m的小物块从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，不计物块经过轨道与传送带连接处B时的机械能损失，重力加速度为g．
（1）求物块经过圆弧轨逍B点时受到的弹力N．
（2）若物块从C端离开传送带时的速度为v₂，求物块与传送带间的动摩擦因数μ．
（3）若物块不能在C端离开传送带，与传送带间的动净擦因数为μ₀，求物块从开始运动到第二次离开传送带的过程中，物块与传送带间摩擦产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）先由机械能守恒定律求出物块到达B点的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出物块受到的弹力N．
（2）研究物块由A滑到C的过程，由动能定理求出物块与传送带间的动摩擦因数μ．
（3）根据牛顿第二定律求出物块在传送带上运动的加速度，由速度公式求出物块在传送带上向右运动的时间．根据物块刚滑上传送带时的速度与传送带速度的关系，分析物块的运动情况，由位移公式求出物块与传送带间的相对位移，从而求得热量．

解答 解：（1）设物块经过圆弧轨道B点的速度为v，则由机械能守恒定律得
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在B点，由牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 N=3mg
（2）物块由A滑到C的过程，由动能定理得
    mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0
解得  μ=$\frac{R}{L}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2gL}$
（3）物块在传送带上滑行的加速度大小 a=$\frac{{μ}_{0}mg}{m}$=μ₀g
物块在传送带上向右运动的时间  t=$\frac{v}{a}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{{μ}_{0}g}$
①当v₁≥$\sqrt{2gR}$时，Q=fs_相对=2μ₀mg[（v₁t+$\frac{{v}^{2}}{2a}$）+（v₁t-$\frac{{v}^{2}}{2a}$）]
解得 Q=4μ₀mgv₁t=4mv₁$\sqrt{2gR}$
②当v₁＜$\sqrt{2gR}$时，物块沿传送带第一次向左运动过程，先加速运动，后匀速运动
加速运动时间  t′=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{μ}_{0}g}$
第一次离开传送带前产生的热量
   Q₁=μ₀mg[（v₁t+$\frac{{v}^{2}}{2a}$）+（v₁t′-$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）]
第一次到第二次离开传送带产生的热量 
  Q₂=μ₀mg[（v₁t′+$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）+（v₁t′-$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$）]
解得 Q=Q₁+Q₂=m（gR+v₁$\sqrt{2gR}$+$\frac{5}{2}{v}_{1}^{2}$）
答：
（1）物块经过圆弧轨逍B点时受到的弹力N是3mg．
（2）物块与传送带间的动摩擦因数μ是$\frac{R}{L}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2gL}$．
（3）物块从开始运动到第二次离开传送带的过程中，物块与传送带间摩擦产生的热量Q是m（gR+v₁$\sqrt{2gR}$+$\frac{5}{2}{v}_{1}^{2}$）．

点评 解答该题时，要注意一下几个方面：
1、能准确的使用机械能守恒定律进行相关的计算，使用时首先要判断是否符合守恒的条件，看是否只有重力和弹力做功，或其他力做功的代数和是否为零．
2、对于第三问的解答上，弄清楚物块的应该过程是解答该题的关键．在弄清运动过程的基础上，再利用相关的规律进行计算，尤其是象该题这种存在往复运动的情况，在分析运动过程上一定要仔细全面．
3、相对路程的计算是该题的另一个难点，在分析问题时，可以结合运动的轨迹图来分析运动的过程．