Question

12．如图所示，半径为R的均质球质量为M，球心在O点，现在被内切的挖去了一个半径为$\frac{R}{2}$的球形空腔（球心在O′）．在O、O′的连线上距离O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体，试求这两个物体之间的万有引力．

Answer 1

分析 应用“填补法”先将空腔填满，然后应用万有引力定律分别求出m受到的万有引力，最后求和即可．

解答 解：
空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为$\frac{1}{2}$R的球的叠加：一个的质量为+$\frac{1}{8}$M，一个的质量为-$\frac{1}{8}$M．然后，前者正好填补空腔--和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为B．
既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条件”中的定势来计算了．只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥--成了“万有斥力”了．具体过程如下F_Am=G$\frac{Mm}{d^2}$F_Bm=G$\frac{{-\frac{M}{8}•m}}{{{{（{d-\frac{R}{2}}）}^2}}}$=-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
最后，两物之间的万有引力 F=F_Am+F_Bm=G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
答：这两个物体之间的万有引力是G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$．

点评 需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路，那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在O、O′的连线上距离O点左侧$\frac{1}{14}$R处，然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力F=G$\frac{{\frac{M}{7}•m}}{{{{（d+\frac{R}{14}）}^2}}}$然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路．