Question

17．如图所示，是运载火箭发射飞船的示意图，飞船由运载火箭先送人近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，已知近地点A距地面高度为h₁，飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）地球的第一宇宙速度大小；
（2）飞船在近地点A的加速度a_A大小；
（3）远地点B距地面的高度h₂大小．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力与万有引力相等，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，据万有引力提供圆周运动向心力计算即可；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求飞船在近地点A处的加速度大小；
（3）求得飞船在B上运动的周期，根据万有引力提供圆周运动向心力求得距地面高度．

解答 解：（1）绕地球表面运动的卫星的向心力由万有引力提供：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…①
在地球表面有重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…②
由①②两式解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）根据万有引力和牛顿第二定律可得：$G\frac{mM}{（R+{h}_{1}）^{2}}=m{a}_{A}$…③
由②③两式解得：a_A=$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$
（3）在大圆轨道上，根据万有引力定律可得：
在大圆轨道上卫星运动n圈所用时间为t，可得在该轨道上运动的周期我：T=$\frac{t}{n}$…④
根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…⑤
由②④⑤式可解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）地球的第一宇宙速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）飞船在近地点A的加速度a_A大小为$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$；
（3）远地点B距地面的高度h₂大小为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

点评 解问题的关键入手点有二：一是地球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力，不难属于基础知识考查．