Question

如图所示，一个横截面为梯形，质量为4kg的木块B静止置于水平光滑的地面上，木块的两个斜面均光滑，倾角分别为30°、60°；木块的上底面为水平的粗糙面，其长度为1.4m，上底面距地面的高度为9/25m．现质量为 1kg的木块A（可视为质点）以速度v₀沿水平光滑地面向木块B滑去．（木块A与木块B上底面之间的滑动摩擦系数为0.2；木块B的两个斜面与上、下底面的交界处为圆弧面，g取10m/s²）．试讨论：（1）当木块A的速度v₀=2m/s时，木块A、B的最终运动情况；
（2）当木块A的速度v₀=3.6m/s时，木块A、B的最终运动情况．

Answer 1

分析：把木块A和木块B看做一个系统，系统动量守恒，
由于木块A与木块B上底面之间有摩擦，应用动量守恒定律分别求出最左端和最右端的共同速度．
根据题目中提供的速度进行讨论，确定研究的过程，再应用动量守恒和能量守恒结合解决问题．

解答：解：设木块质量分别为m_A、m_B木块B的高为h，上底面长为L，
这里有两种临界状态：
①当木块A刚滑上木块B上底面的最左端时，木块A、B具有共同的速度v₁′，
设此时木块A的初速度为v₁，则有：m_Av₁=（m_A+m_B）v₁′

1

2

mAv12=

1

2

(mA+mB)v1 2+mAgh
解得：v₁=3m/s
②当木块A刚滑到木块B的最右端时，木块A、B具有共同的速度v₂′
设此时木块A的初速度为v₂，则有：m_Av₂=（m_A+m_B）v₂′

1

2

mAv22=

1

2

(mA+mB)v2 2+mAgh+μmAgL
解之得：v₂=4m/s
（1）当v₀=2m/s＜v₁=3m/s时，木块A不能滑上木块B的上底面，相当于A、B发生了弹性碰撞．       
 设碰撞后木块A、B的速度分别为v_A、v_B
则有：v_A=

(mA-mB)v0

mB+mA

v_B=

2mAv0

mB+mA

解之得；v_A=-1.2m/s； v_B=0.8m/s；      
即木块A、B的最终运动情况是：木块A以1.2m/s的速度向左运动，木块B以0.8m/s的速度向右运动．
（2）当v₀=3.6m/s＜v₂=4m/s时，木块A能滑上木块B的上底面，但不能滑到其最右端，
此时木块A、B具有共同向右的速度v．
设木块A在木块B的上底面上滑行距离为S，则有：m_Av₀=（m_B+m_A）v

1

2

mAv02=

1

2

(mB+mA)v2+mAgh+μmAgS
解之得：v=0.72m/s                  （S=0.8m）              
即木块A、B最终以共同的速度v=0.72m/s向右运动．
答：（1）当v₀=2m/s，木块A以1.2m/s的速度向左运动，木块B以0.8m/s的速度向右运动．
（2）当v₀=3.6m/s木块A、B最终以共同的速度v=0.72m/s向右运动．

点评：本题较复杂些，首先要正确的判断两滑块的相对位置，再根据题目要求进行列等式解决．