Question

16．如图所示，A、B两物体之间用轻弹簧相连，B、C两物体用不可伸长的轻绳相连，并跨过轻质光滑定滑轮，C物体放置在固定的光滑斜面上，开始时用手固定C使绳处于拉直状态但无张力，ab绳竖直，cd绳与斜面平行，已知B的质量为m，C的质量为4m，弹簧的劲度系数为k，固定斜面倾角α=30°，由静止释放C，C在沿斜面下滑过程中A始终未离开地面．（已知弹簧的弹性势能的表达式为E_P=$\frac{1}{2}$kx²，x为弹簧的形变量）重力加速度为g求：
（1）刚释放C时，C的加速度大小；
（2）C从开始释放到速度最大的过程中，B上升的高度；
（3）若A不离开地面，其质量应满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）刚释放C时，B与C的加速度大小相等．分别以B与C为研究对象，运用牛顿第二定律列式，可求得C的加速度大小．
（2）C速度最大时合力为零，B的合力也为零，分别对B、C分析受力，由平衡条件和胡克定律结合求出此时弹簧的伸长量．再由胡克定律求得弹簧原来的压缩量，即可得到B上升的高度．
（3）A不离开地面的条件是kx₃≤m_Ag，由于A还处于静止，所以对于B、C及弹簧组成的系统机械能是守恒的，由系统的机械能守恒列式，即可得到A的质量范围．

解答 解：（1）刚释放C时，根据牛顿第二定律得：
对C有 4mgsin30°-T=4ma
对B有 T=ma
解得C的加速度大小 a=$\frac{2}{5}$g
（2）初始时对B物体有 kx₁=mg
C速度最大时合力为零，有 F₁=4mgsin30°
此时，对B物体有 F₁=mg+kx₂．
B上升的高度 h=x₁+x₂．
联立解得 h=$\frac{2mg}{k}$
（3）若A不离开地面，则对A物体应满足：kx₃≤m_Ag
对于B、C及弹簧组成的系统由机械能定律得：
    4mg（x₁+x₃）sin30°-mg（x₁+x₃）=$\frac{1}{2}k{x}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
结合kx₁=mg
解得 m_A≥3m
答：
（1）刚释放C时，C的加速度大小是$\frac{2}{5}$g；
（2）C从开始释放到速度最大的过程中，B上升的高度是$\frac{2mg}{k}$；
（3）若A不离开地面，其质量应满足的条件是：m_A≥3m．

点评 本题一要灵活选择研究对象，二要对物体正确进行受力分析，三要把握临界条件，如C的速度最大条件是合力为零，A不离开地面的条件是弹簧的弹力不大于A的重力．