Question

如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接．通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压．a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压U=

3

3

×102V．在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为

q

m

=4.0×106C/kg，速度为v_o=2.0×10⁴m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）．
（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小．
（2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为α，试写出粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析：（1）当滑动头P在ab正中间时，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，位移大小为L，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学结合可求出粒子进入磁场时的速度大小．
（2）当滑动头P在a端时，平行金属板MN板间电压为零，粒子匀速运动，以速度v₀进入磁场中，由牛顿第二定律求出轨迹半径．当滑动头P在ab间某一位置时，由牛顿第二定律得到轨迹半径与α的关系式，由几何关系求出粒子在磁场中运动时轨迹圆心角，即可得到粒子在磁场中运动时间的表达式．当板间电压最大时，根据类平抛运动的规律得到粒子射出极板时速度最大的偏转角，即可求出粒子在磁场中运动的最长时间．

解答：解：（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压U′=

1

2

U，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为v_y：
  q

U′

d

=ma  ①
  v_y=at      ②
  L=v₀t      ③
粒子射入磁场时速度的大小设为v=

v 2 0 + v 2 y

 ④
联立解得：v=

13 3

×104m/s≈2.1×10⁴m/s  ⑤
（2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为v₀，有
  qv0B=

m v 2 0

R0

  ⑥
解得：R₀=

mv0

qB

=0.2m 
设粒子射出极板时速度的大小为v，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为R．根据速度平行四边形可得：
 v=

v0

cosα

  ⑦
又qvB=

mv2

R

，得R=

mv

qB

  ⑧
由⑥⑦⑧可得：R=

R0

cosα

 ⑨
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为O′，与x轴交点为D，
设∠O′DO=β，根据几何关系：
 

d

2

+

L

2

tanα=Rcosα+Rsinβ  ⑩
又：

d

2

=

L

2

=R0
解得：sinα=sinβ，得 β=α
粒子在磁场中运动的周期为T：T=

2πm

qB

     
粒子在磁场中轨迹对应的圆心角为 θ=

π

2

+2α
则粒子在磁场中运动的时间：t=

θ

2π

T=

π 2 +2α

2π

T，得t=

m(π+4α)

2qB

由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角α越大，则粒子在磁场中运动的时间就越大．假设极板间电压为最大值U=

3

3

×102V
时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长．
由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：vym=

2 3

3

×104m/s    
y方向偏距：y_m=

vym

2

?

L

v0

=

3

15

m＜0.2m，说明粒子可以射出极板．此时粒子速度偏转角最大，设为α_m，则
 tana_m=

vym

v0

=

3

3

，得αm=

π

6

          
故粒子在磁场中运动的最长时间：tm=

m(π+4αm)

2qB

，得t_m=

5πm

6qB

         
代入数值得：tm=

π

12

×10-4s≈2.6×10^-5s．  
答：
（1）当滑动头P在ab正中间时，粒子射入磁场时速度的大小是2.1×10⁴m/s．
（2）粒子在磁场中运动的时间与α的函数关系是

m(π+4α)

2qB

，粒子在磁场中运动的最长时间是2.6×10^-5s．

点评：本题的解题关键是准确画出粒子运动的基础上，根据几何知识得到粒子在磁场中运动的时间与α的关系式，难度较大．