Question

如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定档板C．劲度系数为k₁的轻弹簧两端分别与挡板C和质量为m的物体B连接，劲度系数为k₂的轻弹簧两端分别与B和质量也为m的物体A连接，轻绳通过光滑滑轮Q与A和一轻质小桶P相连，轻绳AQ段与斜面平行，A和B均静止．现缓慢地向小桶P内加入细砂，当k₁弹簧对挡板的弹力恰好为零时，求：
（1）小桶P内所加入的细砂质量；
（2）小桶下降的距离．

Answer 1

分析：未向小桶内加入细沙时，弹簧k₁受到的压力大小等于A的重力沿斜面向下的分力，根据胡克定律求出此时该弹簧的压缩量．当B与挡板C间挤压力恰好为零时，弹簧k₁受到的拉力等于B重力沿斜面向下的分力，弹簧k₂受到的拉力等于两个物体的总重力沿斜面向下的分力，根据胡克定律求出此时两弹簧的伸长量，再由几何关系求出小桶下降的距离．

解答：解：（1）当B与挡板C间挤压力恰好为零时，以A、B两个物体整体为研究对象，根据平衡条件得知，轻绳的拉力大小为T=2mgsinθ，
对小桶：T=m_砂g，故小桶P内加入的细砂质量为m_砂=2msinθ； 
（2）未向小桶内加入细沙时，弹簧k₁的压缩量为x₁=

mgsinθ

k1

弹簧k₁处于原长状态；缓慢地向小桶P内加入细砂，当B与挡板C间挤压力恰好为零时，弹簧k₁的伸长量为x₁′=

mgsinθ

k1

弹簧k₂的伸长量为x₂′=

2mgsinθ

k2

根据几何关系得知，小桶下降的距离为 S=x₁+x₁′+x₂′=

2mgsinθ

k1

+

2mgsinθ

k2

=

2mgsinθ (k1+k2)

k1k2

答：（1）小桶P内所加入的细砂质量2mgsinθ；
（2）小桶下降的距离离为为

2mgsinθ (k1+k2)

k1k2

．

点评：对于弹簧问题，要分析初、末两个状态弹簧的变形量，再由几何关系求解小桶下降的距离，是经常采用的思路．