Question

19．如图所示，真空中有以M（r，0）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，在第一象限y=r的直线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，第二象限内有和圆柱形匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场．在纸面内从O点以速率v₀沿x轴正方向射入磁场的质子，恰好经过圆与y=r直线的切点．已知质子的电荷量为e，质量为m，电场强度的大小为E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2er}$，不计质子所受的重力．求：
（1）圆柱形匀强磁场区域内磁感应强度B的大小；
（2）质子从O点出发后第一次通过y轴时的纵坐标值；
（3）质子从O点出发后第二次通过y轴时所用时间．

Answer 1

分析 （1）由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（2）明确粒子的运动过程，在电场中，用电场中的类平抛规律及牛顿第二定律进行分析，求解第一次通过时的间距；
（3）根据圆周运动的性质可明确第一次经过y轴的时间，再根据周期性可得第二次通过y轴时所用时间．；

解答 解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，半径为R=r，
由牛顿第二定律ev₀B=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
可得B=$\frac{m{v}_{0}}{er}$
（2）质子沿x轴正向射入磁场，经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v₀垂直于电场方向进入电场做抛物线运动，第一次通过y轴时速度v与y轴的夹角为θ，
由运动学规律得：r=$\frac{1}{2}$at₁²，
根据牛顿第二定律得a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2r}$
解得：t₁=$\frac{2r}{{v}_{0}}$
在电场中沿y轴位移△y=v₀t=2r，
所以质子第一次通过y轴的纵坐标值y=r+△y=3r
（3）由（2）中可得：v_x=at₁=v₀
tan θ=$\frac{vx}{v0}$=1，θ=45°
质子进入第二象限与y轴夹角为45°，有左手定则可知质子在第二象限内也做$\frac{1}{4}$圆弧的圆周运动，所以质子在磁场中
总时间为t₂=$\frac{1}{2}T=\frac{πr}{{v}_{0}}$
所以总时间t=t₁+t₂=$\frac{r}{{v}_{0}}（2+π）$
答：（1）圆柱形匀强磁场区域内磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{er}$；
（2）质子从O点出发后第一次通过y轴时的纵坐标值3r；
（3）质子从O点出发后第二次通过y轴时所用时间=$\frac{r}{{v}_{0}}（2+π）$．

点评 本题考查带电粒子在磁场及电场中的运动，要注意正确分析物理过程，明确带电粒子在磁场中的圆周运动和电场中的类平抛运动，灵活应用几何关系求解．