Question

17．如图所示，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，试求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）水平推力F的大小
（3）当斜面倾角增大并超过某一临界角θ₀时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求这一临界角θ₀的大小．

Answer 1

分析 物体匀速下滑时受力平衡，按重力、弹力和摩擦力顺序进行受力分析，根据共点力平衡条件并结合正交分解法列方程，同时结合摩擦力公式求解动摩擦因素μ；物体沿斜面匀速上升，根据平衡条件列方程，可求得推力F的大小．

解答 解：（1）物体匀速下滑时，受力如下图所示：
根据平衡条件得：
mgsin30°=f₁
N₁=mgcos30°
又 f₁=μN₁
所以μ=tan30°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）物体沿斜面匀速上升，受力如图所示：
根据平衡条件，沿斜面方向：Fcos30°=mgsin30°+f₂
垂直于斜面方向：N₂=mgcos30°+Fsin30°
又：f₂=μN₂
联立得：
F=$\frac{mgsin30°+μmgcos30°}{cos30°-μsin30°}$=$\sqrt{3}mg$；
（3）设斜面的倾角为α，根据（2）可知：$F=\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$，
当cosα-μsinα=0时，F→∞，即无论用多大的力都不能使物体沿斜面上滑，可解得临界角的正切值为：
tanθ₀=tanα=$\frac{1}{μ}=\sqrt{3}$，
解得：θ₀=60°；
答：（1）物体与斜面间的动摩擦因数为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）推力F的大小为$\sqrt{3}mg$；
（3）这一临界角θ₀的大小为60°．

点评 本题是力平衡问题，关键是分析物体的受力情况，作出受力的示意图，要培养良好的作图习惯，注意结合正交分解法列方程求解．