Question

11．如图所示，两个足够长的等高台阶之间是水平地面，地面长度d=16m，在地面上紧靠左侧台阶放着质量M=1kg的木板，木板长l=$\frac{32}{3}$m，上表面与台阶面齐平．右侧台阶上固定着一个倾角θ=37°的斜面，斜面末端与台阶面平滑连接，一质量为m=2kg的货物（可视为质点）以初速度v₀=12m/s从距左侧台阶边缘P点x₀=$\frac{8}{3}$m处开始向右运动，离开台阶后随即冲上木板，到达右侧台阶边缘Q点立即冲上斜面，木板一旦与台阶碰撞就会立即停下（不与台阶粘连），货物与台阶、木板之间的动摩擦因数μ₁=0.3，与斜面之间的动摩擦因数μ₂=0.25，木板与地面之间的动摩擦因数μ₃=0.1，g取10m/s²，求：
（1）货物冲上木板时，货物和木板的加速度．
（2）货物沿斜面上滑的最大距离．
（3）货物最终停止的位置到P点的距离．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定 律分别求货物和木板的加速度．
（2）对货物在左侧台阶上运动的过程，由运动学公式规律求货物到达P点的速度．沿斜面上滑的最大距离．
（3）货物沿斜面下滑的过程，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求滑货物滑到斜面底端时的速度．货物冲上木板后，由速度公式求出达到共同速度经过的时间，并求出木板前进的位移，从而得到货物最终停止的位置到P点的距离．

解答 解：（1）对货物而言，由牛顿第二定律得：
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：a₁=μ₁g=0.3×10=3m/s²；
对木板而言有：f₁-μ₃（M+m）g=Ma₂，
代入数据解得：a₂=3m/s²；
（2）对货物，在左侧台阶上运动，加速度也等于a₁，由运动学公式规律有：
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2（-a₁）x₀；
代入数据解得：v₁=8$\sqrt{2}$m/s
冲上木板后，假设能一直减速到Q点，由运动学公式有：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2（-a₁）d；
代入数据解得：v₂=4$\sqrt{2}$m/s
对木板，由运动学规律有：
${v}_{2}^{′2}$-0=2a₂（d-l）；
代入数据解得：v₂′=4$\sqrt{2}$m/s
说明货物刚好冲到板的右端达到共同速度且抵达了右侧台阶Q点．
沿斜面上滑过程，由牛顿第二定律有：
μ₂mgcosθ+mgsinθ=ma₃；
代入数据解得：a₃=8m/s²；
设货物能沿斜面上滑的最大距离为x，由运动学规律有：
0-${v}_{2}^{2}$=2（-a₃）x
代入数据解得：x=2m
（3）没斜面下滑过程，由牛顿第二定律有：
mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₄；
代入数据解得：a₄=4m/s²；
由运动学公式有：${v}_{3}^{2}$-0=2a₄x
代入数据解得：v₃=4m/s；
冲上木板后，达到共同速度为：
v_共=v₃-a₁t=a₂t
代入数据解得：t=$\frac{2}{3}$s，v_共=2m/s
货物前进的位移为：x′=$\frac{{v}_{3}+{v}_{共}}{2}t$=2m
达到共同速度后一起匀减速运动，由牛顿第二定律有：
μ₃（M+m）g=（M+m）a₅；
代入数据解得：a₅=1m/s²；
设货物和木板一起减速的位移为x″，由运动学公式有：
0-${v}_{共}^{2}$=2（-a₅）x″
代入数据解得：x″=2m
故货物最终停止的位置到P点的距离为：
△x=d-x′-x″=16-2-2=12m
答：（1）货物冲上木板时，货物和木板的加速度均为3m/s²；
（2）货物沿斜面上滑的最大距离是2m．
（3）货物最终停止的位置到P点的距离是12m．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律和运动学公式分步研究，边计算边分析货物的运动情况，分析还要抓住临界状态：货物与木板共速的情况．