Question

16．一水平的足够长的传送带上放置一小煤块，煤块与传送带之间的动摩擦因数为0.1．初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度4m/s²开始运动，当其速度达到8m/s后，便以-4m/s²的加速度做匀减速运动直到停止．求：
（1）煤块从开始运动到停止的时间
（2）痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）关键牛顿第二定律求解煤块的加速度，关键运动学公式计算二者速度相等时的时间和速度大小，再计算煤块减速运动的时间即可计算总时间；
（2）关键平均速度乘以时间计算求出二者速度相等前的相对位移和速度相等后的相对位移，判断痕迹的长度．

解答 解：（1）根据题意可知，传送带加速或减速运动的加速度大小均为a₀=4m/s²，
根据牛顿第二定律可得煤块的加速度大小为：a=μg=1m/s²，
当传送带速度达到v=8m/s时经过的时间为：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{0}}=\frac{8}{4}s=2s$，
此时煤块的速度为：v₁=at₁=2m/s，
设再经过t₂时间二者速度相等，则：v₁+at₂=v-a₀t₂，
代入数据为：2+1×t₂=8-4t₂，
解得：t₂=1.2s；
此时的速度为v₂=v₁+at₂=2+1×1.2=3.2m/s；
此后煤块减速运动，减速运动过程中，加速度大小不变，设经过时间t₃速度为零，则：
t₃=$\frac{{v}_{2}}{a}=\frac{3.2}{1}=3.2s$；
所以煤块从开始运动到停止的时间为：t=t₁+t₂+t₃=6.4s；
（2）在二者速度相等时传送带的位移为：L₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}+\frac{v+{v}_{1}}{2}{t}_{2}$=14.72m，
煤块的位移为：L₂=$\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}=\frac{1}{2}×1×（2+1.2）^{2}=5.12m$，
此过程的相对位移为：△L=L₁-L₂=9.6m；
此后煤块减速到零的位移仍为5.12m，
而传送带从速度相等减速到零的位移为：$L{′}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}-\frac{v+{v}_{1}}{2}{t}_{2}=1.28m$，
此过程的相对位移为：△L′=5.12-1.28=3.84m＜9.6m，
所以痕迹的长度为9.6m．
答：（1）煤块从开始运动到停止的时间为6.4s；
（2）痕迹的长度为9.6m．

点评 弄清楚煤块的运动过程是解答本题的关键；对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．