Question

8．如图是半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧，在圆弧上放置一光滑木板AB，一质量为m的木块由A端静止下滑，经B点（无机械能损失）滑向粗糙的水平面，运动s后在C点停下，已知木块与水平面间的动摩擦因数为μ，求木块由A运动到C点，重力mg的平均功率．

Answer 1

分析 根据动能定理求出BD段重力做功的大小，结合牛顿第二定律和运动学公式求出物块在BD上运行的时间，从而根据平均功率的公式求出重力做功的平均功率．

解答 解：有牛顿第二定律可得物体在AB段的加速度为a=gsin45$°=\frac{\sqrt{2}}{2}g$，下滑的位移为L=$\sqrt{2}R$，设下滑时间为t₁，则$L=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$，解得${t}_{1}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$
在水平面上，逆向看做初速零的匀加速直线运动，加速度为a′=μg，设运动时间为t₂，则$s=\frac{1}{2}{at}_{2}^{2}$，解得${t}_{2}=\sqrt{\frac{2s}{μg}}$，
重力mg的平均功率为P=$\frac{mgR}{{t}_{1}+{t}_{2}}$=$\frac{mgR}{2\sqrt{\frac{R}{g}}+\sqrt{\frac{2s}{μg}}}$
答：木块由A运动到C点，重力mg的平均功率$\frac{mgR}{2\sqrt{\frac{R}{g}}+\sqrt{\frac{2s}{μg}}}$

点评 解决本题的关键掌握平均功率的求法．关于BD段的求法可以通过D点和BO的延长线交于圆周上点的连线，通过解三角形求得．