Question

【题目】一玻璃立方体中心有一点状光源。今在立方体的部分表面镀上不透明薄膜，以致从光源发出的光线只经过一次折射不能透出立方体。已知该玻璃的折射率为，求：

①以任一表面为例，计算镀膜的面积与该表面积之比的最小值；

②请根据①的结论，写出镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：作出光路图，通过光线在镀膜部分发生全反射，根据临界情况，通过几何关系求出镀膜的面积与该表面积之比和镀膜面积与立方体表面积之比的最小值。

①光路如图所示，

考虑从玻璃立方体中心O点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃立方体上表面发生折射。根据折射定律有式中，n是玻璃的折射率，入射角等于θ，α是折射角。

现假设A点是上表面面积最小的不透明薄膜边缘上的一点。由题意，在A点刚好发生全反射，故αA＝

则sinθ =，θ=。

根据，得RA=

由题意，该表面所镀的面积最小的不透明薄膜应是半径为RA的圆。所求的镀膜面积S′与玻璃立方体的表面积S之比为

②镀膜的面积与立方体表面积之比的最小值。