Question

8．如图所示，固定在地面上竖直放置的管状轨道由玻璃烧制而成，内壁光滑．轨道AB部分呈直线状，与地面的夹角为45°．BCDE部分是一段圆弧，O时圆弧的圆心，圆弧半径R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，∠BPD=90°，∠BOE=∠DOE=135°，C时圆弧与地面的切点，B是两段轨道上的切点，E在O点正上方，轨道圆弧部分处在正交的电磁场中，直线MN时电磁场的左边界．匀强电场E的方向竖直向上，大小未知，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.4T．将一带正电小球从轨道AB上某位置无处速度释放，以v=2m/s的速度进入复合场．由于受轨道约束，小球在圆弧轨道内部做匀速圆周运动，最后从轨道上最高点E脱离轨道．已知小球质量为m=2×10^-4kg，带电量为q=1.0×10^-3C，轨道的截面是个圆，直径和小球直径相等，管壁厚度和小球半径不计，g取10m/s²，求：
（1）匀强电场强度E的大小；
（2）小球在电磁场中运动的时间（小球离开电磁场后就不再进入）；
（3）小球从直线轨道上的什么位置释放，小球不会离开电磁场．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，则小球的重力与电场力的合力为零，据此求出电场强度．
（2）根据小球在管道中做圆周运动转过的圆心角与小球做圆周运动的周期求出在管道中的运动时间，然后求出小球离开管道后的在电磁场中的运动时间，然后求出总的运动时间．
（3）小球离开管道后会在电磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出小球恰好不离开电磁场的临界轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出小球的速度，最后应用动能定理求出小球释放点的高度．

解答 解：（1）小球在圆弧轨道内做匀速圆周运动，则重力与电场力合力为零，
即：mg=qE，解得，电场强度：E=2N/C；
（2）小球在圆弧轨道中做匀速圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{\sqrt{2}π}{2}$s，
小球在圆弧轨道中转过的圆心角为135°+90°=225°，
小球在圆弧轨道中的运动时间：t₁=$\frac{225°}{360°}$T=$\frac{5\sqrt{2}π}{16}$s，
小球离开圆弧轨道后在电磁场中做匀速圆周运动，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=1m，sinθ=$\frac{Rsin45°}{r}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
小球在电磁场中做圆周运动的周期：T′=$\frac{2πr}{v}$=π，
小球离开E后在电磁场中的运动时间：t₂=$\frac{θ}{360°}$T′=$\frac{π}{12}$，
小球在电磁场中的运动时间：t=t₁+t₂=$\frac{15\sqrt{2}π+4π}{48}$s≈1.65s；
（3）E点到MN的水平距离：d=Rsin45°=0.5m，
小球离开E后在电磁场中做匀速圆周运动，
当小球的轨道半径：r′≤d=0.5m时小球不会离开电磁场，
由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，解得：v′=1m/s，
对小球，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv′²-0，
解得：h=0.05m=5cm，小球释放点到B的高度应小于等于5cm；
答：（1）匀强电场强度E的大小为2N/C；
（2）小球在电磁场中运动的时间为1.65s；
（3）小球从直线轨道上距离B点的高度小于等于5cm处释放，小球不会离开电磁场．

点评 本题考查了带电小球在电磁场中的运动，知道小球做匀速圆周运动的条件、分析清楚小球的运动过程、作出小球的运动轨迹是解题的关键，应用牛顿第二定律、小球做圆周运动的周期公式可以解题．