Question

12．如图所示，在倾角为θ的光滑绝缘斜面上，存在着两个磁感应强度相等的匀强磁场，方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为l，一个质量为m，边长也为l的正方形线框以速度v进入上边磁场时，恰好做匀速运动，求：
（1）当ab边刚越过ff′时，线框的加速度多大？方向如何？
（2）当ab边到达gg′与ff′正中间位置时，线框又恰好做匀速运动，问线框从开始进入上边磁场到ab边到达gg′与ff′正中间位置过程中，放出的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）线框开始进入磁场时做匀速直线运动，由平衡条件可以求出线框速度，当ab边刚越过ff′时，由牛顿第二定律可以求出线框的加速度．
（2）由能量守恒定律可以求出线框产生的热量．

解答 解：（1）线框进入磁场时受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
ab边刚越过ee′即做匀速直线运动，由平衡条件得：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
在ab边刚越过ff′时，ab、cd 边都切割磁感线产生感应电动势，但线框的运动速度不能突变，则此时回路中的总感应电动势为：E=2BLv．
此时线框受到的安培力为：F′=2BI′L=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
由牛顿第二定律得：$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-mgsinθ=ma，
解得：a=3gsinθ，方向沿斜面向上．
（2）设线框再做匀速运动的速度为v′，由平衡条件得：mgsinθ=2×$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}$，
解得：v′=$\frac{v}{4}$，
线框从过ee′到再做匀速运动过程中，设产生的热量为Q，由能量守恒定律得：
Q=$mg•\frac{3}{2}Lsinθ+\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=$\frac{3mgLsinθ}{2}+\frac{15}{32}m{v}^{2}$；
答：（1）当ab边刚越过ff′时，线框加速度的值为3gsinθ．
（2）求线框从开始进入磁场到ab边到达gg′和ff′中点的过程中产生的热量是$\frac{3mgLsinθ}{2}+\frac{15}{32}m{v}^{2}$．

点评 本题的易错点在于ab、cd两边均在磁场中时，两个边都切割磁感线，注意此时回路中的电动势为E=2BLv．