Question

9．如图所示，竖直平面内，半径为R=0.5m的光滑圆轨道CDF与倾角θ=37°的光滑斜面轨道AC相切于C，圆轨道的直径CE与斜面垂直，O点为圆轨道的圆心，D点为圆轨道的最低点，F点为圆轨道的最高点，DF在竖直方向，B点为斜面上与F等高的位置．小球从斜面上A处由静止释放，之后恰好能通过F处离开圆轨道，落到斜面上．已知重力加速度为g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，求：
（1）A，C两点的高度差；
（2）小球从F点到斜面的运动时间．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到达光滑圆弧轨道CDF的最高点，在F点重力充当向心力，根据向心力公式求得F点的速度，从A点到F点的过程中，因为只有重力做功，机械能守恒，可以根据机械能守恒定律或动能定理求AC两点的高度差．
（2）小球离开F点后做平抛运动，根据平抛运动的规律及几何关系可以求出从F点到斜面的时间

解答 解：（1）小球恰好能通过F，在最高点F根据向心力公式得：$mg=m\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
${v}_{F}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}=\sqrt{5}m/s$
从A到F只有重力做功，机械能守恒，选C点所在的水平面为参考平面，根据机械能守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}+mg（R+Rcosθ）$
代入数据解得：h=1.15m
（2）小球离开F点做平抛运动，水平方向：$x={v}_{F}^{\;}t$
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
根据几何关系有：$\frac{（R+Rcosθ）-\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{{v}_{F}^{\;}t-Rsinθ}=tanθ$
解得：$t=\frac{3\sqrt{5}}{20}s$
答：（1）A，C两点的高度差1.15m；
（2）小球从F点到斜面的运动时间为$\frac{3\sqrt{5}}{20}s$

点评 本题小球“恰好”到达圆轨道最高点，抓住关键词充分挖掘隐含条件，运动过程中只有重力做功机械能守恒，平抛运动分解为水平和竖直方向处理．