Question

17．如图所示，半径R=0.9m的光滑的半圆轨道固定在竖直平面内，直径AC竖直，下端A与光滑的水平轨道相切．一个质量为m=1kg的小球沿水平轨道进入竖直圆轨道，且恰好通过最高点C，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球在C点的速度大小v₀；
（2）小球在A点的动能；
（3）通过C点后落地时距A的水平距离是多少？

Answer 1

分析 （1）由向心力公式可求得最高点的速度
（2）小球从A到C只有重力做功，由机械能守恒定律可以求出A点的动能．
（3）通过C点后小球做平抛运动，通过平抛运动的规律求出水平位移

解答 解：（1）设小球通过最高点C时的速度为${v}_{C}^{\;}$，根据牛顿第二定律，有
$mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得${v}_{0}^{\;}=\sqrt{gR}=3m/s$
（2）小球从A到C只有重力做功机械能守恒，选A点所在的水平面为零势能面，根据机械能守恒定律，有
${E}_{{k}_{A}^{\;}}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+mg•2R$=22.5J
（3）通过C点后小球做平抛运动，竖直方向$2R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得t=0.6s
水平位移$x={v}_{0}^{\;}t=3×0.6=1.8m$
答：（1）小球在C点的速度大小${v}_{0}^{\;}$为3m/s；
（2）小球在A点的动能为22.5J；
（3）通过C点后落地时距A的水平距离是1.8m

点评 本题主要考查了向心力公式、机械能守恒定律及平抛运动基本公式的直接应用，对于圆周运动的动力学，关键分析什么力提供向心力，对于圆周光滑模型，要考虑动能定理或机械能守恒求解．