Question

11．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的运行轨道可近似为圆形轨道，距月球表面高度分别为h₁和h₂，运动的向心加速度分别是a₁和a₂，运动周期分别为T₁和T₂．已知月球半径为R，则a₁和a₂的比值及T₁和T₂的比值分别为（　　）

• A． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{1}）^{2}}{（R+{h}_{2}）^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=（$\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• B． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{2}）^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=（$\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• C． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{1}）^{2}}{（R+{h}_{2}）^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=（$\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$
• D． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{2}）^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=（$\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 嫦娥号绕月球圆周运动万有引力提供圆周运动向心力，据此根据半径关系求解向心加速度与周期之比．

解答 解：根据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$即：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{2}=（\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}）^{2}$
周期为：；T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
可得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}=（\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}）^{\frac{3}{2}}$
所以B正确，ACD错误．
故选：B．

点评 万有引力提供圆周运动向心力是解决本题的关键，求得向心加速度和周期的表达式，再根据半径关系分析求解即可．