Question

18．如图所示，两形状完全相同的平板A、B置于光滑水平面上，质量分别为m和2m．平板B的右端固定一轻质弹簧，P点为弹簧的原长位置，P点到平板B左端点Q的距离为L．物块C置于平板A的最右端，质量为m且可视为质点．平板A与物块C以相同速度v₀向右运动，与静止平板B发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后平板A、B粘连在一起，物块C滑上平板B，运动至P点压缩弹簧，后被弹回并相对于平板B静止在其左端Q点．已知弹簧的最大形变量为$\frac{L}{2}$，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g．求：
（1）平板A、B刚碰完时的共同速率v₁；
（2）物块C与平板B之间的动摩擦因数μ；
（3）在上述过程中，系统的最大弹性势能E_P．

Answer 1

分析 （1）碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出共同速度；
（2）系统动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以动摩擦因数；
（3）A、B、C三者速度相等时弹性势能最大，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出弹性势能．

解答 解：（1）对A、B碰撞过程，以向右为正方向，根据动量守恒定律有：
mv₀=（m+2m）v₁ 
解得：v₁=$\frac{1}{3}$v₀ 　
（2）设C停在Q点时A、B、C共同速度为v₂，根据动量守恒定律有：
2mv₀=4mv₂
解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₀
对A、B、C组成的系统，从A、B碰撞结束瞬时到C停在Q点的过程，根据功能关系有：
μmg（2L）=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₁²-$\frac{1}{2}$（4m）v₂² 
解得：μ=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{12Lg}$
（3）设弹簧压缩到最短时A、B、C共同速度为v₃．对于A、B、C组成的系统，弹簧压缩到最短时系统的弹性势能E_p最大．
对于A、B、C组成的系统，从A、B碰撞后瞬间到弹簧压缩到最短的过程，根据动量守恒定律有：
2mv₀=4mv₃；
解得：v₃=$\frac{1}{2}$v₀
根据功能关系有：μmgL+E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₁²-$\frac{1}{2}$（4m）v₃²   
解得：E_p=$\frac{1}{12}$mv₀²
答：（1）平板A、B刚碰完时的共同速率v₁为$\frac{1}{3}$v₀；
（2）物块C与平板B之间的动摩擦因数μ为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{12Lg}$；
（3）在上述过程中，系统的最大弹性势能E_P为$\frac{1}{12}$mv₀²．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，注意应用动量守恒定律时要规定正方向，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．