Question

5．专家称嫦娥四号探月卫星为“四号星”，计划在2017年发射升空，它的主要任务是更深层次、更全面地科学探测月球地貌等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，嫦娥四号开始探测时与月球中心的距离为r，根据以上信息求
（1）引力常量G=？
（2）嫦娥四号的运行速度V=？

Answer 1

分析 月球表面的重力与万有引力相等，绕月球圆周运动的向心力由万有引力提供，据此列式计算．

解答 解：（1）设月球的半径为R，由重力等于万有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg
其中月球质量：M=$\frac{4}{3}$πR³ρ
联立解得：g=$\frac{4}{3}$πRGρ  
可解得万有引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）由万有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
联立可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$
答：（1）引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）嫦娥四号的运行速度V=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$

点评 月球表面的重力与万有引力相等，卫星绕月球做圆周运动万有引力提供圆周运动的向心力，这个是万有引力问题经常用的表达式．