Question

12．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h=5m处有一个可间断滴水的容器，从t=0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．则：（取g=10m/s²） 
（1）每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
（3）当圆盘的角速度为1.5π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2m，求容器的容器加速度a．

Answer 1

分析 （1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，水滴运动的时间等于竖直方向运动的时间，由高度决定；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数；
（3）通过匀加速直线运动的公式求出两个水滴在水平方向上的位移，再算出两个位移之间的夹角，根据位移关系算出容器的加速度．

解答 解：（1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动．
则每一滴水滴落到盘面上所用时间：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×5}{10}}$=1s；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在1s内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．
由ωt=kπ
即ω=kπ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$=kπ，其中k=1，2，3，…
（3）第二滴水离开O点的距离为${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（at）t=\frac{3}{2}a$
第三滴水离开O点的距离为${x}_{3}=\frac{1}{2}a（2t）^{2}+（a•2t）t=4a$
又△θ=ωt=1.5π
即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上，所以${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}={x}^{2}$     
即$（\frac{3}{2}a）^{2}+（4a）^{2}={2}^{2}$    
解得：a=$\frac{4\sqrt{73}}{73}$m/s²；
答：（1）每一滴水离开容器后经过1s时间滴落到盘面上；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为kπ，其中k=1，2，3，…；
（3）当圆盘的角速度为1.5π时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2m，则容器的容器加速度$\frac{4\sqrt{73}}{73}$m/s²

点评 该题涉及到运动的合成与分解，圆周运动，匀变速直线运动的相关规律，综合性较强，难度较大．