Question

3．如图所示，在坐标系y右侧存在一宽度为d、垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度的大小为B；在y左侧存在与y轴正方向成θ=45°角的匀强电场．一个粒子源能释放质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子的初速度可以忽略．粒子源在点P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$d，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$d）时发出的粒子恰好垂直磁场边界EF射出；将粒子源沿直线PO移动到Q点时，所发出的粒子恰好不能从EF射出．不计粒子的重力及粒子间相互作用力．求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）粒子源在Q点时，粒子从发射到第二次进入磁场的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理和牛顿第二定律列方程联立求解E的大小；
（2）粒子恰好不能从EF射出时与边界EF相切，由几何知识求得圆周运动的半径，几何公式t=$\frac{θ}{2π}$T求出圆周运动的时间，进而求得运动的三阶段的总时间．

解答 解：（1）粒子源在P点时，粒子在电场中被加速，根据动能定理有：
qEd=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2Eqd}{m}}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
由几何关系知，R₁=$\sqrt{2}$d
联立解得：E=$\frac{{B}^{2}qd}{m}$
（2）粒子源在Q点时，粒子在磁场中运动轨迹与边界EF相切，
由几何关系知：R₂sin45°+R₂=d
解得：${R}_{2}=（2-\sqrt{2}）d$
根据牛顿第二定律 有：$Bq{v}_{2}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
磁场中运动速度为：${v}_{2}=\frac{Bq（2-\sqrt{2}）d}{m}$
粒子在Q点射出，开始的电场中加速运动：加速度a=$\frac{Eq}{m}=\frac{{B}^{2}{q}^{2}d}{{m}^{2}}$
运行时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{a}=\frac{（2-\sqrt{2}）m}{qB}$
进入磁场后运动四分之三个圆周：${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2Bq}$
第一次出磁场后进入电场，作类平抛运动：${t}_{3=}\frac{2{v}_{2}}{a}=\frac{2（2-\sqrt{2}）m}{Bq}$
粒子从发射到第二次进入磁场的时间为：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（12-6\sqrt{2}+3π）m}{2Bq}$，
答：（1）匀强电场的电场强度为$\frac{{B}^{2}qd}{m}$；
（2）粒子源在Q点时，粒子从发射到第二次进入磁场的时间为$\frac{（12-6\sqrt{2}+3π）m}{2Bq}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后分阶段根据动能定理，牛顿第二定律列式求解．