Question

12．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成60°角的速度v₀从y轴上的a点射入图中第一象限所在区域．为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场．
（1）若此磁场垂直于纸面向外，仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小半径．
（2）若此磁场垂直于纸面向内，仅分布在一个正三角形区域内，试求这个三角形磁场区域的最小边长．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，根据题意作出粒子运动轨迹，然后求出圆形磁场区域的半径．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，根据题意作出粒子运动轨迹，然后求出正三角形磁场区域的最小边长．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
粒子运动轨迹如图所示，最小磁场区域如图所示（红色圆），

由几何知识得，磁场区域半径：R=rsin45°=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2qB}$；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
粒子运动轨迹如图所示，正三角形磁场区域如图所示：

由几何知识得，三角形的边长：
L=2$\frac{r}{tan30°}$=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$；
答：（1）这个圆形磁场区域的最小半径为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2qB}$．
（2）这个三角形磁场区域的最小边长为$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qB}$．

点评 本题考查了粒子在有界磁场中的偏转问题，考查了求有界磁场的最小半径、边长问题，根据题意作出粒子运动轨迹、确定磁场区域范围是解题的关键；粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律与几何知识可以解题．