Question

10．如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y轴放置一平面荧光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B=0.5T．在原点O放一个开有小孔粒子源，粒子源能同时放出比荷为$\frac{q}{m}$=4.0×10⁶kg/C的不同速率的正离子束，沿与x轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮．入射正离子束的速率在0到最大值v_m=2.0×10⁶m/s的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．
（1）求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
（2）求离子打到荧光屏上的范围；
（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x轴成30°～60°角内进入磁场，则某时刻（设为t=0时刻）在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过$\frac{5π}{3}$×10^-7s时这些离子可能出现的区域面积是多大？

Answer 1

分析 （1）由几何关系确定粒子转过的圆心角，再由周期公式可求得所用时间；
（2）离子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动公式求出离子在磁场中运动最大的轨道半径r_m，画出轨迹如下左图所示，由几何关系求出离子打到荧光屏上的范围．
（3）分析与x轴成60°方向入射的离子的轨迹，经过时间t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s时，离子转过的圆心角为$φ=\frac{2π}{T}t=\frac{π}{3}$刚好打在y轴上，则知这些速率不同的离子，都打在y轴上．作出离子可能出现的区域范围，由几何知识求出面积．

解答 解：（1）离子在磁场中的运动的周期为T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π}{0.5×4×1{0}^{6}}$=3.14×10^-6s；
由几何关系知，能够打在荧光屏上的离子从粒子源放出到打在荧光屏上转过的圆心角均为$\frac{2π}{3}$；
故离子从粒子源放出到打在荧光屏所用时间t=$\frac{α}{2π}$T=$\frac{π}{3}$×10^-6s；
（2）由$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$得，$r=\frac{mv}{qB}，{r_m}=\frac{{m{v_m}}}{qB}=1m$
离子在磁场中运动最大轨道半径：r_m=1m
由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如左图所示．
所以OA₁长度为：$y=2rcos{30^0}=\sqrt{3}$m
即离子打到荧光屏上的范围为：$[{0，\sqrt{3}m}]$
（3）由几何关系知，与x轴成60°方向入射的离子，经过时间：t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s时离子转过的圆心角为$φ=\frac{2π}{T}t=\frac{π}{3}$刚好打在y轴上，将t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：x=0即都打在y轴上，所以在t=0时刻与x轴成30°～60°内进入磁场的正离子在t=$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s时刻全部出现在以O为圆心的扇形OA₂C₁范围内．如图
则离子可能出现的区域面积：$S=\frac{{π{r_m}^2}}{12}=\frac{π}{12}{m^2}≈0.26{m^2}$
答：
（1）离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间为$\frac{π}{3}$×10^-6s；
（2）离子打到荧光屏上的范围为[0，$\sqrt{3}m$]．
（3）经过$\frac{5π}{3}×{10^{-7}}$s时这些离子可能出现的区域面积为0.26m²．

点评 本题是带电粒子在有界的磁场中运动的问题，要充分运用数学知识画轨迹，确定轨迹的圆心角，运用参数方程求出离子的轨迹方程．