Question

15．如图甲所示，两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L₁=2m，导轨平面与水平面成θ=30°角，上端连接阻值R=1.5Ω的电阻；质量为m=0.4kg、阻值r=0.5Ω的匀质金属棒ab放在两导轨上，距离导轨最上端为L₂=4m，棒与导轨垂直并保持良好接触．整个装置处于一匀强磁场中，该匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示．（g=10m/s²）
（1）保持ab棒静止，在0～4s内，通过金属棒ab的电流大小和方向；
（2）为了保持ab棒静止，需要在棒的中点施加一垂直于棒且平行于导轨平面的外力F，求2s时外力F的大小和方向；
（3）5s后撤去外力，金属棒由静止开始向下滑动，滑行1.1m恰好匀速运动，求在此过程中电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律列式求解感应电动势的大小，根据欧姆定律求解电流，根据楞次定律判断感应电流的方向；
（2）对棒ab受力分析，根据平衡条件列式求解即可；
（3）对棒的下滑过程根据平衡条件求解最大速度，根据功能关系列式求解电热．

解答 解：（1）在0～4s内，由法拉第电磁感应定律，有：
E=S•$\frac{△B}{△t}$=${L}_{1}{L}_{2}•\frac{△B}{△t}$=$2×4×\frac{1}{4}$=2V     
由闭合电路欧姆定律，有：
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{2}{1.5+0.5}$=1A             
根据楞次定律，方向由b→a         
（2）当t=2s时，ab棒受到沿斜面向上的安培力为：
F_安=BIL₁=0.5×1×2=1N        
对ab棒受力分析，由平衡条件：
$F=mgsinθ-{F}_{安}=0.4×10×\frac{1}{2}-1$=1N              
方向平行于导轨平面向上           
（3）ab棒沿导轨下滑切割磁感线产生感应电动势，有：
E′=B′L₁v 
产生的感应电流为：$I′=\frac{E′}{R+r}$                                  
棒下滑至速度稳定时，棒两端电压也恒定，此时ab棒受力平衡，有：
mgsin30°=B′I′L₁                                        
得：v=$\frac{mg（R+r）sin30°}{{B}_{2}^{′}{L}_{1}^{2}}$=$\frac{0.4×10×（1.5+0.5）×\frac{1}{2}}{{1}^{2}×{2}^{2}}$=1m/s                          
由动能定理，得：
mgxsinθ-W_安=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                  
${Q}_{总}={W}_{安}=mgxsinθ-\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.4×$10×1.1×\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}×0.4×{1}^{2}$=2J                         
${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{总}$=$\frac{1.5}{1.5+0.5}×2$=1.5J
答：（1）保持ab棒静止，在0～4s内，通过金属棒ab的电流大小为1A，方向为由b→a；
（2）为了保持ab棒静止，需要在棒的中点施加一垂直于棒且平行于导轨平面的外力F，2s时外力F的大小为1N，方向平行于导轨平面向上；
（3）5s后撤去外力，金属棒由静止开始向下滑动，滑行1.1m恰好匀速运动，在此过程中电阻R上产生的焦耳热为1.5J．

点评 本题关键是力电综合问题，关键是根据法拉第电磁感应定律列式求解感应电动势，然后结合平衡条件、功能关系列式分析，不难．