Question

6．如图1，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，轨距为L=1m，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．P、M间接有阻值R₁的定值电阻，Q、N间接变阻箱R．现从静止释放ab，改变变阻箱的阻值R，测得最大速度为v_m，得到$\frac{1}{Vm}$与$\frac{1}{R}$的关系如图2所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）金属杆的质量m和定值电阻的阻值R₁；
（2）当变阻箱R取1Ω时，且金属杆ab运动的加速度为0.5gsinθ时，此时金属杆ab运动的速度；
（3）当变阻箱R取1Ω时，且金属杆ab运动的速度为$\frac{Vm}{2}$时，定值电阻R₁消耗的电功率．

Answer 1

分析 （1）从静止释放ab，ab棒切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，定值电阻R₁与R并联，可求得总电阻的表达式．当ab棒匀速运动时，速度达到最大，根据平衡条件和安培力公式到$\frac{1}{{v}_{m}}$与$\frac{1}{R}$的关系式，由图象读出斜率造型截距，即可求出m和R₁．
（2）当变阻箱R取1Ω时，且金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，根据牛顿第二定律求得此时金属杆ab运动的速度；
（3）当变阻箱R取1Ω时，由图象得到v_m，由公式P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$求得定值电阻R₁消耗的电功率．

解答 解：（1）总电阻为R_总=$\frac{{R}_{1}R}{{R}_{1}+R}$；
通过金属杆ab的电流为I=$\frac{BLv}{{R}_{总}}$
当达到最大速度时金属棒受力平衡，则有mgsinθ=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$
得，$\frac{1}{{v}_{m}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgRsinθ}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
根据图象得到斜率k=0.5，纵截距b=0.5，
由数学知识得：k=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgsinθ}$，b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
代入数据，可以得到棒的质量m=0.1kg，R₁=1Ω
（2）金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，I′=$\frac{BLv′}{{R}_{总}}$
根据牛顿第二定律，得mgsinθ-BI′L=ma
代入得  mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$=$\frac{1}{2}$mgsinθ
代入数据，得到v′=0.5m/s
（3）当变阻箱R取1Ω时，根据图象得到v_m=1m/s，则由题v=$\frac{{v}_{m}}{2}$=0.5m/s
定值电阻R₁消耗的电功率为
P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}}$
代入数据得：P=0.0625W
答：（1）金属杆的质量m是0.1kg，定值电阻的阻值R₁是1Ω．
（2）当变阻箱R取1Ω时，且金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，此时金属杆ab运动的速度是0.5m/s．
（3）当变阻箱R取1Ω时，且金属杆ab运动的速度为$\frac{{v}_{m}}{2}$时，定值电阻R₁消耗的电功率是0.0625W．

点评 本题根据平衡条件和安培力公式得到$\frac{1}{{v}_{m}}$与$\frac{1}{R}$的关系式是解题的关键，结合数学知识即可求得有关量．