Question

【题目】如图所示，轨道倪a、b、c在同一竖直平面内，其中a是末端水平（可看做与D重合）的光滑圆弧轨道，b是半径为r=2m的光滑半圆形轨道且直径DF沿竖直方向，水平轨道c上静止放置着相距l=1.0m的物块B和C，B位于F处，现将滑块A从轨道a以上距D点高为H的位置由静止释放，滑块A经D处水平进入轨道b后能沿轨道（内轨）运动，到达F处与物块B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑动，并再与C发生正碰．已知A、B、C质量分别为m、m、km，均可看做质点，物块与轨道C的动摩擦因数μ=0.45．（设碰撞时间很短，g取10m/s2）

（1）求H的最小值和H取最小值时，AB整体与C碰撞前瞬间的速度；
（2）若在满足（1）的条件下，碰后瞬间C的速度=2.0m/s，请根据AB整体与C的碰撞过程分析k的取值，并讨论与C碰撞后AB的可能运动方向．

Answer 1

【答案】
（1）解：滑块A从轨道a下滑到达D点的过程中，由机械能守恒定律得：

mgH= mvD2，

要使滑块A能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：

mg≤ ，

联立并代入数据解得 H≥1m

所以H的最小值为1m．

滑块A从a轨道上H=1m处下滑到达F点的过程，由机械能守恒定律得

mg（H+2r）=

可得，滑块经过F点的速度 v0=10m/s

A、B碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得

mv0=2mv1．

设AB整体与C碰撞前瞬间的速度为v2．由动能定理得

﹣μ2mgl= ﹣

联立以上各式解得 v2=4m/s

答：H的最小值是1m，H取最小值时，AB整体与C碰撞前瞬间的速度是 m/s．

（2）若AB整体与C发生非弹性碰撞，由动量守恒定律得

2mv2=（2m+km）v

代入数据解得 k=2

此时AB整体的运动方向与C相同．

若AB整体与C发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得

2mv2=2mv3+kmv

×2mv22= ×2mv32+ kmv2

解得 v3= v2，v= v2

代入数据解得 k=6

此时AB整体的运动方向与C相反．

若AB整体与C发生碰撞后AB整体速度为0，由动量守恒定律得

2mv2=kmv

解得 k=4

综上所述，当2≤k＜4时，AB整体的运动方向与C相同．

当k=4时，AB整体的速度为0．

当4＜k≤6时，AB整体的运动方向与C相反．

答：当2≤k＜4时，AB整体的运动方向与C相同．当k=4时，AB整体的速度为0．当4＜k≤6时，AB整体的运动方向与C相反．

【解析】（1）滑块在最高点时，重力提供向心力。滑块下滑过程中满足机械能守恒，求出高度的最小值。碰撞过程中满足动量守恒，根据动量守恒和动能定理，列式求解。
（2）碰撞过程中有动能向其他形式能转化，是非弹性碰撞。根据动量守恒和机械能守恒，联合列式求解。