Question

如图所示，真空中直角坐标系XOY，在第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，在第四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小均为B，在第二象限内有沿x轴正向的匀强电场，第三象限内有一对平行金属板M、N，两板间距为d．所加电压为U，两板间有垂直纸面向里、磁感应强度为B₀的匀强磁场．一个正离子沿平行于金属板的轴线射入两板间并做直线运动，从A点（-L，0）垂直于x轴进入第二象限，从P（0，2L）进入第一象限，然后离子垂直于x轴离开第一象限，不计离子的重力，求：
（1）离子在金属板间运动速度V₀的大小
（2）离子的比荷

q

m

（3）从离子进入第一象限开始计时，离子穿越x轴的时刻．

Answer 1

（1）离子在板间做直线运动，电场力与洛伦兹力平衡
qE=qv₀B₀
E=

U

d

v0=

U

B0d

（2）离子在第二象限内做类平抛运动，离子在P点时沿y轴方向的分速度为v₀，设沿x方向的分速度为v_x
2L=v₀t
L=

.

v

xt=

1

2

v_xt
解得：v_x=v₀
离子在P点时的速度与y轴正方向成45°角
此时v=

2

v₀
由几何关系可以确定离子在第一象限的轨道半径为：
r=2

2

L
根据qvB=m

v2

r

可得

q

m

=

v

Br

=

U

2BB0dL

（3）离子在第一、第二象限内的轨迹如图所示：


离子的周期T=2π

r

v

=

4πB0dL

U

离子第一次在第一象限内运动的时间t′=

3

8

T=

3πB0dL

2U

离子穿过x轴的时刻为t=n

T

2

+t′=(

n

2

+

3

8

)

4πB0dL

U

n∈（0，1，2，…）
答：（1）离子在金属板间运动速度为

U

B0d

（2）离子的比荷为

q

m

=

U

2BB0dL

（3）离子穿越x轴的时刻为(

n

2

+

3

8

)

4πB0dL

U

n∈（0，1，2，…）