Question

16．如图所示，倾角为θ=37°的斜坡底端有一宽为L=18m的水平粗糙地面，右侧为一宽为d=6m的壕沟，壕沟两侧水平地面的高度差为h=0.8m．在晴天时，一辆车（视为质点）在斜坡顶端关闭发动机以初速度v=12m/s下滑，恰好能停在壕沟前．车的质量为m=2t，车与斜坡及水平地面间的动摩擦因数均为μ₀=0.5，车经过斜坡和水平地面交界处时无能量损失．已知重力加速度为g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．

（1）求斜坡的长度．
（2）某次雨后，车与斜坡及水平地面间的动摩擦因数变为μ=0.25，若车仍以原来初速度从斜坡顶端下滑，车能否越过壕沟？若能，求出车的落点到壕沟的距离；若不能，求车需要额外以恒定功率P=50kW运行的最短时间．

Answer 1

分析 （1）对全过程运用动能定理求出斜坡与水平面的高度，从而得出斜坡的长度．
（2）根据动能定理求出车到达壕沟边缘的速度大小，结合平抛运动的高度求出运动的时间，通过水平位移判断能否越过壕沟．根据壕沟的宽度求出越过壕沟的最小速度，结合动能定理求出车需要额外以恒定功率P=50kW运行的最短时间．

解答 解：（1）对全过程运用动能定理得，mgH-$μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL=0$$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得H=5.4m，
则斜坡的长度$s=\frac{H}{sinθ}=\frac{5.4}{0.6}m=9m$．
（2）根据动能定理得，mgH-$μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得v′=11.2m/s，
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
因为v′t＜d，可知车不能越过壕沟，
越过壕沟的最小速度${v}_{min}=\frac{d}{t}=\frac{6}{0.4}m/s=15m/s$，
根据动能定理得，Pt+$mgH-μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}-μmgL$=$\frac{1}{2}m{{v}_{min}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得t=1.98s．
答：（1）斜坡的长度为9m．
（2）车不能越过壕沟，车需要额外以恒定功率P=50kW运行的最短时间为1.98s．

点评 本题考查了动能定理和功率与平抛运动的综合运用，运用动能定理解题关键选择好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，然后列式求解．对于第二问，求出越过壕沟的最小速度是关键．