Question

17．如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近．已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω．万有引力常量为G，则（　　）

• A． 发射卫星b时速度要大于7.9km/s
• B． 若要卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
• C． 卫星b距离地面的高度为$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$
• D． 卫星a和b下一次相距最近还需经过的时间t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度．

解答 解：A、卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，所以发射卫星b时速度大于7.9km/s，故A正确；
B、让卫星c加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星c会做离心运动，离开原轨道，所以不能与b实现对接．故B错误；
C、b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度．
由万有引力提供向心力，即$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
得：r=$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$．所以卫星b距离地面的高度为$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$-R：故C错误；
D、b与c的角速度：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度ω_a=$\sqrt{\frac{GM}{{8R}^{3}}}$
此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近，
（ω_a-ω）t=2π
t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}}-ω}$，故D正确；
故选：AD．

点评 理解三种宇宙速度，特别注意第一宇宙速度的三种说法．能抓住万有引力提供向心力列出等式解决问题的思路，再进行讨论求解．