Question

2．组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转．如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是（　　）

• A． $\frac{4π}{{G{T^2}}}$
• B． $\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． $\frac{2π}{{G{T^2}}}$
• D． $\frac{π}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 由题意可知当周期达到某一最小值时，物体对星球表面应刚好没有压力，即万有引力恰好充当星球表面的物体在星球表面做圆周运动的向心力；故由万有引力公式可求得最小密度．

解答 解：由$F=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即：
$\frac{GMm}{R^2}=m（\frac{2π}{T}{）^2}R$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{R^3}$
联立解得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故选：B

点评 星球表面的物体受到星球万有引力的作用充当物体的向心力及支持力，星球的转动角速度越大、周期越小时，则需要的向心力越大，则物体所受支持力越小；而当向心力大到一定值时，物体会离开星球表面．