Question

8．如图所示，截面为直角三角形的斜面体固定在水平地面上，两斜面光滑，斜面倾角分别为60°和30°，一条不可伸长的轻绳跨过固定在斜面顶端的光滑定滑轮连接着两个小物体，物体B的质量为m，起始距地面的高度均为$\sqrt{3}$h，重力加速度为g．
（1）若A的质量也为m，由静止同时释放两物体，求当A刚到地面时的速度大小；
（2）若斜面体不固定，当斜面体在外力作用下以大小为a的加速度水平向右做匀变速直线运动时，要使A、B两物体相对斜面都不动，分析物体A的质量和加速度a的关系．

Answer 1

分析 （1）同时释放两物体，由于斜面光滑，两个物体组成的系统只有重力做功，机械能守恒，即可根据系统的机械能守恒求解A刚到地面时的速度大小．
（2）要使A、B两物体相对斜面都不动，加速度相同，斜面可能向右做匀加速运动，也可能向右做匀减速运动，分两种情况，分别对A、B两个物体，运用牛顿第二定律列式，即可解答．

解答 解：（1）设A刚落地时的速度为v，由A和B运动中的机械能守恒得，
  mgh=mgsin30°$\frac{h}{sin60°}$+$\frac{1}{2}$×2mv²             
得：v=$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{3}}{3}）gh}$
（2）对两个物体分别进行受力分析，沿垂直斜面和平行斜面方向建立坐标系进行正交分解，
当斜面体向右做匀加速直线运动时，加速度方向水平向右：
对A物体：T-m_Agsin60°=m_Aacos60°
对B物体：mgsin30°-T=macos30°
解得：m_A=$\frac{mg-\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g+a}$
由等式右侧的分子得，加速度的大小应满足 0＜$a＜\frac{\sqrt{3}}{3}g$
加速度a越大，A物体的质量越小，A物体质量应满足 0＜m_A$＜\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．                 
当斜面体向右做匀减速直线运动时，加速度方向水平向左：
对A物体：m_Agsin60°-T=m_Aacos60°
对B物体：T-mgsin30°=macos30°
解得：m_A=$\frac{mg+\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g-a}$
由等式右侧的分母得，加速度的大小应满足 0＜$a＜\sqrt{3}g$
加速度a越大，A物体的质量越大，A物体质量应满足 m_A$＞\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．
答：
（1）当A刚到地面时的速度大小为$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{3}}{3}）gh}$；
（2）当斜面体向右做匀加速直线运动时，物体A的质量和加速度a的关系为m_A=$\frac{mg-\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g+a}$，（0＜$a＜\frac{\sqrt{3}}{3}g$）0＜m_A$＜\frac{\sqrt{3}}{3}mg$
当斜面体向右做匀减速直线运动时，物体A的质量和加速度a的关系为m_A=$\frac{mg+\sqrt{3}ma}{\sqrt{3}g-a}$，0＜$a＜\sqrt{3}g$，m_A$＞\frac{\sqrt{3}}{3}mg$．

点评 对于连接体问题，常常有两种方法研究：一是机械能守恒；二是牛顿第二定律．本题采用隔离法由牛顿第二定律解答加速度问题，分析时要抓住两个物体之间的联系，比如加速度相同，绳子拉力大小相等．