Question

16．如图所示，原长分别为L₁和L₂、劲度系数分别为k₁和k₂的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上，两弹簧之间有一质量为m₁的物体，最下端挂着质量为m₂的另一物体，整个装置处于静止状态．求：
（1）这时两弹簧的总长．
（2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板对物体m₂的支持力大小．

Answer 1

分析 （1）整体法受力分析根据胡克定律求上面弹簧的长，然后隔离法对m₂受力分析根据胡克定律求下面弹簧的长度；
（2）当两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和时，上边弹簧的伸长量与下边弹簧的压缩量相等．对m₁受力分析，有m₁g=k₁x+k₂x，得出伸长量和压缩量x．对物体m₂受力分析有：N=m₂g+k₂x．

解答 解：（1）设上面弹簧受到的弹力为F₁，伸长量为△x₁，下面弹簧受到的弹力为F₂，伸长量为△x₂，由物体的平衡及胡克定律有：
F₁=（m₁+m₂）g，
故△x₁=$\frac{{F}_{1}}{{k}_{1}}$=$\frac{{（m}_{1}+{m}_{2}）g}{{k}_{1}}$
F₂=m₂g，
故△x₂=$\frac{{F}_{2}}{{k}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}g}{{k}_{2}}$
所以总长为：
L=L₁+L₂+△x₁+△x₂
=L₁+L₂+$\frac{{（m}_{1}+{m}_{2}）g}{{k}_{1}}$+$\frac{{m}_{2}g}{{k}_{2}}$．
（2）要使两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和，必须是上面弹簧伸长△x，下面弹簧缩短△x．
对m₂：N=k₂△x+m₂g
对m₁：m₁g=k₁△x+k₂△x
解得：N=m₂g+$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$m₁g
所以平板对物体m₂的支持力为：
N=m₂g+$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$m₁g
答：（1）这时两弹簧的总长为L₁+L₂+$\frac{{（m}_{1}+{m}_{2}）g}{{k}_{1}}$+$\frac{{m}_{2}g}{{k}_{2}}$；
（2）这时平板对物体m₂的支持力为m₂g+$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}+{k}_{2}}$m₁g．

点评 本题的关键是当两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时下面弹簧的压缩量与上面弹簧的伸长量相等．