Question

19．如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l．水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从圆槽形轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆槽形轨道．水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆槽形轨道．已知R=0.2m，l=1.0m，v_o=3m/s，物块A的质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分的摩擦不计，取g=10m/s²．
（1）求物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）求物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆槽形轨道的高度
（3）调节PQ段的长度l，A以v′=2$\sqrt{3}$m/s的初速从轨道右侧冲上轨道，求当l满足什么条件时，物块A能第一次返回圆槽形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

Answer 1

分析 （1）物块A从Q到P过程中，运用动能定理，结合摩擦力做功，从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小，再根据动能定理求出A能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．
（3）A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理、动量守恒定律和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

解答 解：（1）物块A从开始运动到与弹簧刚接触的过程中，由动能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₁=$\sqrt{5}$m/s；
（2）A被弹簧以原速率v₁弹回，向右经过PQ段，由动能定理得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₂=1m/s，
假设A恰好能到达圆形轨道的最高点，在最高点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{2}$m/s，
A要能达到圆形轨道的最高点，在水平轨道上的最小速度为v′，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²，
解得：v′=$\sqrt{10}$m/s＞v₂，
则A不能到达圆形轨道的最高点，设A能到达的最大高度为h，由动能定理得：-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得：h=0.05m＜R，
A在圆形轨道上运动时不会脱离轨道，到达的最大高度为0.05m；
（3）①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则：0＜h≤R，由动能定理得：-μmg•2l₁-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，l₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$-$\frac{h}{2μ}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{h}{0.4}$，1.0m≤l₁＜1.5m，
②若A能沿轨道上滑至最高点，则：m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg，
由动能定理得：-μmg•2l₂-2mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：l₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{4μg}$-$\frac{R}{μ}$，l₂≤0.25m；
答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为$\sqrt{5}$m/s．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆槽形轨道的高度为0.05m．
（3）当l满足条件：1.0m≤l＜1.5m  或l≤0.25m时，物块A能第一次返回圆槽形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．