Question

12．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R₀，周期为T₀．A行星的半径为r₀，其表面的重力加速度为g，不考虑行星的自转．
（1）中央恒星O的质量为多大？
（2）经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间t₀发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．（由于B对A的吸引而使A的周期引起的变化可以忽略）根据上述现象及假设，试求未知行星B的运动周期T及轨道半径R．

Answer 1

分析 （1）研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；
（2）先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答 解：（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=m$（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}$R⁰，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B每隔时间t₀有一次相距最近的情况，
这时它们转过的角度相差1周（2π），所以有：（$\frac{2π}{{T}_{0}}$-$\frac{2π}{T}$）t₀=2π，
解得：T=$\frac{{T}_{0}{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
由开普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{R}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$，
解得：R=$（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{\frac{2}{3}}$R₀；
答：（1）中央恒星O的质量为：$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）未知行星B的运动周期T为：$\frac{{T}_{0}{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，行星的轨道半径R为：$（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{\frac{2}{3}}$R₀．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，考查了求质量、周期与轨道半径问题，知道万有引力提供向心力是解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题；从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．