Question

7．1990年3月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该星直径32Km．如果该行星的密度和地球相同．则对该行星而言，第一宇宙速度为多少？其表面重力加速度多大？（地球：半径R=6400Km；第一宇宙速度V=8×10³m/s；g=10m/s²）

Answer 1

分析 因题目中是将吴健雄星与地球相比较，故应根据万有引力定律分别对地球和吴健雄星列出方程，通过作比得出小行星的第一宇宙速度．由于小行星密度与地球相同，根据地球半径和小行星的半径的关系求出两者质量关系．根据星球表面万有引力等于重力，列出等式表示出重力加速度．

解答 解：已知地球半径为R=6400km，地球上第一宇宙速度为V=8km/s，密度为ρ，吴健雄星半径r=16km，
根据万有引力提供向心力得：则有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
M=ρ$\frac{4}{3}$πR³，
解得：v=$\sqrt{\frac{gm}{R}}$=2R$\sqrt{\frac{Gπρ}{3}}$…①
吴健雄星其上物体的第一宇宙速度表达式为：v₁=2r$\sqrt{\frac{Gπρ}{3}}$…②
把①②两式取比值得：v₁=$\frac{r}{R}$=20m/s；
由于小行星密度与地球相同，
所以小行星质量与地球质量之比为$\frac{{M}_{行}}{{M}_{地}}=\frac{{{R}_{行}}^{3}}{{{R}_{地}}^{3}}$
根据星球表面万有引力等于重力，列出等式：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=mg$，
所以小行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}=\frac{{R}_{行}}{{R}_{地}}=\frac{16}{6400}=\frac{1}{400}$，所以${R}_{行}=0.025m/{s}^{2}$
答：第一宇宙速度为20m/s，其表面重力加速度为0.025m/s²．

点评 本题要掌握第一宇宙速度的定义，正确利用万有引力公式列出第一宇宙速度的表达式；同时注意认真审题，如题目中吴健雄星的半径为16km，而有些同学直接代入了32km．