Question

2．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上．用手按住C，使细线恰好伸直但没有拉力，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为M（M＞2m），细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放C后它沿斜面下滑，当A恰好要离开地面时，B获得最大速度（B未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度大小为g）．求：
（1）释放物体C之前弹簧的压缩量；
（2）物体B的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）对B受力分析，应用平衡条件与胡克定律求出弹簧的压缩量．
（2）分析清楚物体的运动过程与受力情况，应用平衡条件及机械能守恒定律可以求出B的最大速度．

解答 解：（1）释放物体C之前，细线恰好伸直，绳子拉力为零，弹簧处于压缩状态，
设弹簧的压缩量为x，物体B受重力与弹簧弹力作用而静止，处于平衡状态，
由平衡条件及胡克定律得：mg=kx，解得：x=$\frac{mg}{k}$；
（2）当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，弹簧处于伸长状态，
设弹簧的伸长量为x′，对物体A，由平衡条件及胡克定律得：mg=kx′，
因此物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离为：s=x+x′=$\frac{2mg}{k}$，
设斜面倾角为α，当物体B达最大速度时，以三个物体和弹簧作为研究对象，
所受合外力为零，由平衡条件得：Mgsinα=2mg，
A、B、C、弹簧组成的系统机械能守恒，
因初始状态弹簧的压缩量与物体B达最大速度时弹簧的伸长量相等，
所以在整个过程中弹性势能变化量为零，根据机械能守恒定律有：
Mgsinα-mgs=$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²，解得：v_m=2mg$\sqrt{\frac{1}{k（M+m）}}$；
答：（1）释放物体C之前弹簧的压缩量为$\frac{mg}{k}$；
（2）物体B的最大速度v_m为2mg$\sqrt{\frac{1}{k（M+m）}}$．

点评 本题考查了求弹簧的压缩了、物体的最大速度，分析清楚物体运动过程是解题的关键，应用平衡条件、胡克定律与机械能守恒定律可以解题．对于多研究对象、多过程问题一定要明确研究对象、分析清楚物体的运动过程．