Question

17．如图所示，在第一象限内+x轴与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，+y轴与OC之间分布有沿+y方向的匀强电场．+x轴上与O点相距为d处有一粒子源S．某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相等．经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场，已知OC与+x轴夹角为60°．从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于$\frac{T}{6}$（T为粒子在磁场中运动的周期．为已知量）．求：
（1）从边界OC射比的粒子在磁场中运动的最长时间？
（2）若在磁场中运动最长时间的粒子经过电场后打在y轴上与O点相距为（$\sqrt{3}$+1）d，求场强E与磁感应强度B的比值？

Answer 1

分析 粒子在磁场中的运动时间根据公式$t=\frac{θ}{2π}T$，轨迹圆心角最小时运动时间最短，轨迹弦最短，即S到OC边距离最短，运动的最短时间$t=\frac{T}{6}$，圆心角为60°，半径与弦长相，因为所有粒子的初速度大小相等，半径相等，从边界OC射出的粒子时间最长时，弦最长，最长弦等于直径即SP=2R，根据几何关系，SP⊥OA，从而求出最长时间：时间最长的粒子进入电场做类平抛运动，根据类平运动的规律及圆周运动规律求出E和B的比值．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}$
粒子运动时间$t=\frac{θ}{2π}T$，时间最短的粒子轨迹圆心角最小，轨迹弦最短，即S到OC边的距离最短
${t}_{min}^{\;}=\frac{T}{6}$，圆心角等于60°，r=SQ
时间最长带电粒子轨迹弦最长，SP=2r，根据几何关系知SP⊥OA，如图
所以从边界OC射出的粒子运动得最长时间${t}_{max}^{\;}=\frac{T}{2}$
（2）进入电场做类平抛运动，由几何关系求得SP=$\sqrt{3}d$，
水平位移：x=d=vt…①
竖直位移：$y=（\sqrt{3}+1）d-\sqrt{3}d=\frac{1}{2}（\frac{qE}{m}）{t}_{\;}^{2}②$
联立①②得：$E=\frac{2m{v}_{\;}^{2}}{qd}$…③
在磁场中圆周运动SP=2r=$\sqrt{3}d$，得：$r=\frac{\sqrt{3}}{2}d$…④
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得：$r=\frac{mv}{qB}$…⑤
联立④⑤得：$\frac{\sqrt{3}d}{2}=\frac{mv}{qd}$
解得：$B=\frac{2mv}{\sqrt{3}qd}$…⑥
$\frac{E}{B}=\sqrt{3}v$…⑦
根据$v=\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π×\frac{\sqrt{3}d}{2}}{T}=\frac{\sqrt{3}πd}{T}$…⑧

⑧代入⑦得：$\frac{E}{B}=\frac{3πd}{T}$
答：（1）从边界OC射比的粒子在磁场中运动的最长时间$\frac{T}{2}$
（2）若在磁场中运动最长时间的粒子经过电场后打在y轴上与O点相距为（$\sqrt{3}$+1）d，求场强E与磁感应强度B的比值$\frac{3πd}{T}$

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，涉及的知识点非常多，关键是根据题目要求，正确画出粒子运动轨迹，根据几何关系求半径以及类平抛的水平和竖直位移．