Question

9．半径为R的玻璃半圆柱体，横截面如图所示，圆心为O．两条平行单色红光沿截面射向圆柱面，方向与底面垂直，光线1的入射点A为圆柱的顶点，光线2的入射点为B，∠AOB=60°．已知该玻璃对红光的折射率$n=\sqrt{3}$．
（1）计算两条光线经柱面和底面折射后的交点与O点的距离d且画出光路图．
（2）若入射的是单色蓝光，则距离d将比上面求得的结果大还是小？

Answer 1

分析 （1）光线1通过玻璃砖后不偏折．光线2在圆柱面上的入射角为60°，根据折射定律求出折射角，由几何知识求出在底面上的入射角，再由折射定律求出折射角，作出光路图．根据几何关系求解d．
（2）若入射的单色蓝光，光线1仍不偏折，由于介质对蓝光的折射率大于介质对红光的折射率，光线2偏折得更厉害，d更小．

解答 解：①光线l直接从O点透射，方向垂直于底面．光线2的入射角为60°，根据折射定律n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$，
解得折射角为：θ₂=30°   
由几何关系可知，在底面处发生再次折射时，入射角为30°，有光路可逆，可得折射角为60°．
在底面上，折射点距离O点：x=$\frac{\frac{R}{2}}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
透射光线的交点到O点的距离为：d=xtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{R}{3}$
②根据n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$，知蓝光比红光的折射率大，则蓝光2在底面上的透射点距离O点近，即x小，可以判断蓝光的d较小．
答：（1）两条光线经柱面和底面折射后的交点与O点的距离d为$\frac{R}{3}$；
（2）若入射的是单色蓝光，则距离d将比上面求得的结果小．

点评 本题其实是光的色散问题，关键是作出光路图，运用几何知识辅助分析和解答．