Question

一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m₁，B球的质量为m₂。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V₀。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与V₀应满足的关系式是 　　　　　　　　 。

Answer 1

分析与解：如图7-1所示，A球运动到最低点时速度为V₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力。那么，N₁-m₁g=m₁ [1]

这时B球位于最高点，速度为V₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用。球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂ [2]， 且N₂方向一定向下，对B球：N₂+m₂g=m₂ [3]

B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒：

即m₂V₁²+m₂g2R=m₂V₀² [4]

由[1][2][3][4]式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：

(m₁-m₂)+(m₁+5m₂)g=0 [5]

说明：（1）本题不要求出某一物理量，而是要求根据对两球运动的分析和受力的分析，在建立[1]-[4]式的基础上得到m₁、m₂、R与V₀所满足的关系式[5]。（2）由题意要求两球对圆管的合力为零知，N₂一定与N₁方向相反，这一点是列出[3]式的关键。且由[5]式知两球质量关系m₁＜m₂。