Question

12．如图所示，半径为2R的四分之一圆弧与半径为R的光滑半圆在B点相连接，C与A点等高，一个质量为m的小球从A点由静止释放，恰好到达与圆心O等高的D点．求：
（1）摩擦力对小球所做的功是多少？
（2）假设AEB段摩擦力做功不变，小球刚过B点时对轨道的压力是多少？
（3）假设AEB段摩擦力做功不变，在A点给小球不同的速度，它将始终不脱离轨道运动，并能通过C点做平抛运动，当落点E到C点的竖直距离最大时，求A点的速度v₀是多少？

Answer 1

分析 （1）从A到D有动能定理求的摩擦力做功；
（2）从A到B有动能定理求的到达B点速度，有牛顿第二定律求的作用力；
（3）从C点做平抛运动，求出竖直方向的高度，利用数学知识即可判断

解答 解：（1）摩擦力所做的共为W，则有：
mg•2R-W-mgR=0-0
W=-mgR
（2）根据题意有：
mg$•2R-W=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
由牛顿第二定律有：F-mg=$\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得：F=3mg
有牛顿第三定律可知，对轨道的压力为3mg
（3）设经过C点的速度为v_C
x=v_Ct
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x²+y²=4R²
得：$y=\frac{\sqrt{{v}_{C}^{4}+4{g}^{2}{R}^{2}}{-v}_{C}^{2}}{g}$
可知v_C越小，y越大，最小是刚好能通过C点，
恰能通过C点则有：mg=$\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$
$mg•2R-W-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{3gR}$
答：（1）摩擦力对小球所做的功是-mgR
（2）假设AEB段摩擦力做功不变，小球刚过B点时对轨道的压力是3mg
（3）A点的速度v₀是$\sqrt{3gR}$

点评 本题除了运用动能定理、平抛运动的规律之外，关键根据这些规律得到x的表达式，运用数学知识求极值，是常用的函数法，要学会运用．